高二数学上册——圆锥曲线与导数（补充版）

概述

圆锥曲线与导数是高中数学的两大核心板块，也是高考压轴题的常客。本教程作为补充篇，聚焦于圆锥曲线的焦点弦问题、韦达定理在解析几何中的实战应用、导数与函数单调性极值最值的关系，以及利用导数证明不等式的经典方法。这些内容不仅需要扎实的基础，更需要灵活的解题技巧和系统的思维训练。掌握好这些方法，高考数学压轴题将不再是难题。

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知识点一：圆锥曲线的焦点弦问题

1.1 焦点弦的定义

过圆锥曲线焦点的直线与曲线交于两点，这两点之间的线段称为焦点弦。焦点弦问题是圆锥曲线中的一类经典题型，涉及弦长、面积、角度等多个方面。

1.2 焦点弦长公式

椭圆焦点弦长公式（焦点在x轴上，标准方程 x²/a² + y²/b² = 1）：

设过焦点F的直线倾斜角为θ，与椭圆交于A、B两点，则：

\(|AB| = \frac{2ab²}{a² - c²\cos²\theta} = \frac{2ab²}{b² + c²\sin²\theta}\)

其中 c² = a² - b²。

特殊情况：

• 当θ = 90°（通径）：|AB| = 2b²/a
• 当θ = 0°（长轴）：|AB| = 2a

双曲线焦点弦长公式：

\(|AB| = \frac{2ab²}{|a² - c²\cos²\theta|}\)

注意取绝对值，因为双曲线中分母可能为负。

抛物线焦点弦长公式（y² = 2px）：

\(|AB| = \frac{2p}{\sin²\theta}\)

1.3 焦点弦的常用结论

椭圆焦点弦的重要性质：

• 过焦点的弦中，通径最短（垂直于x轴的弦），长轴最长
• 焦点弦的两个端点到焦点的距离之积为定值

抛物线焦点弦的重要性质：

设A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)为抛物线y² = 2px上过焦点的弦的端点：

• x₁·x₂ = p²/4
• y₁·y₂ = -p²
• |AF| = x₁ + p/2，|BF| = x₂ + p/2（焦半径公式）
• 以AB为直径的圆与准线相切

1.4 例题精讲

例题1：已知椭圆 x²/4 + y²/3 = 1，过右焦点F₂的直线l与椭圆交于A、B两点，若|AB| = 3，求直线l的方程。

解： 椭圆参数：a = 2, b = √3, c = 1，右焦点F₂(1, 0)

设直线l的方程为 y = k(x - 1)

代入椭圆方程：x²/4 + k²(x-1)²/3 = 1

整理：3x² + 4k²(x-1)² = 12

(3 + 4k²)x² - 8k²x + 4k² - 12 = 0

设A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)，则：

• x₁ + x₂ = 8k²/(3 + 4k²)
• x₁x₂ = (4k² - 12)/(3 + 4k²)

弦长公式：|AB| = √(1 + k²) · |x₁ - x₂|

|x₁ - x₂|² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = [64k⁴ - 4(3 + 4k²)(4k² - 12)] / (3 + 4k²)²

化简后：|AB|² = 144(1 + k²)/(3 + 4k²)²

|AB| = 12√(1 + k²)/(3 + 4k²) = 3

解得：k² = 1，k = ±1

所以直线l的方程为 y = x - 1 或 y = -(x - 1)，即 x - y - 1 = 0 或 x + y - 1 = 0

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知识点二：韦达定理在解析几何中的应用

2.1 核心思路

解析几何中，将直线与圆锥曲线方程联立，消元后得到一个一元二次方程，利用韦达定理（根与系数的关系）可以避免求出具体的交点坐标，大大简化计算。

2.2 标准操作流程

1. 设直线方程：根据条件设 y = kx + m 或 x = my + t（注意斜率不存在的情况）
2. 联立方程：将直线方程代入圆锥曲线方程
3. 整理成标准二次方程：Ax² + Bx + C = 0
4. 使用韦达定理：x₁ + x₂ = -B/A，x₁x₂ = C/A
5. 将所求量用x₁ + x₂和x₁x₂表示
6. 代入计算

2.3 例题精讲

例题2：已知椭圆 x²/2 + y² = 1，过点P(0, 1/2)作直线l交椭圆于A、B两点，求△AOB面积的最大值（O为原点）。

解： 设直线l：y = kx + 1/2

代入 x²/2 + (kx + 1/2)² = 1

x²/2 + k²x² + kx + 1/4 = 1

(1/2 + k²)x² + kx - 3/4 = 0

乘以4：(1 + 4k²)x² + 4kx - 3 = 0

设A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)：

• x₁ + x₂ = -4k/(1 + 4k²)
• x₁x₂ = -3/(1 + 4k²)

|AB| = √(1 + k²) · √[(x₁ + x₂)² - 4x₁x₂]

= √(1 + k²) · √[16k²/(1 + 4k²)² + 12/(1 + 4k²)]

= √(1 + k²) · √[(16k² + 12 + 48k²)/(1 + 4k²)²]

= √(1 + k²) · √[(12 + 64k²)/(1 + 4k²)²]

= √(1 + k²) · 2√(3 + 16k²)/(1 + 4k²)

原点O到直线的距离 d = |0 - 0 + 1/2|/√(1 + k²) = 1/(2√(1 + k²))

S = (1/2)|AB|·d = (1/2) · [2√(1 + k²) · √(3 + 16k²)/(1 + 4k²)] · [1/(2√(1 + k²))]

= √(3 + 16k²)/(2(1 + 4k²))

令 t = 1 + 4k² ≥ 1，则 16k² = 4(t-1)，3 + 16k² = 4t - 1

S = √(4t - 1)/(2t)

对 t 求导求最大值（或用均值不等式）

S² = (4t - 1)/(4t²) = 1/t - 1/(4t²)

令 u = 1/t，S² = u - u²/4 = -(u² - 4u)/4 = -(u - 2)²/4 + 1

当 u = 2 即 t = 1/2 时取得最大值，但 t ≥ 1，所以在 t = 1 时 S² = 3/4

S_max = √3/2

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知识点三：导数与函数的单调性、极值与最值

3.1 导数与单调性的关系

• 若 f'(x) > 0 在区间 (a, b) 上恒成立，则 f(x) 在 (a, b) 上单调递增
• 若 f'(x) < 0 在区间 (a, b) 上恒成立，则 f(x) 在 (a, b) 上单调递减
• 注意：f'(x) ≥ 0（或≤ 0）且等号只在有限个点取到，单调性不变

3.2 求单调区间的步骤

1. 求 f'(x)
2. 令 f'(x) = 0，求出所有实根
3. 用根将定义域分成若干区间
4. 在每个区间内判断 f'(x) 的符号
5. 写出单调递增和递减区间

3.3 极值与最值

极值：

• f'(x₀) = 0 且 f'(x) 在 x₀ 两侧变号 → x₀ 是极值点
• 左正右负 → 极大值；左负右正 → 极小值
• 注意：f'(x₀) = 0 不一定有极值（如 f(x) = x³ 在 x = 0）

闭区间最值：

• 求出所有极值点的函数值
• 求出端点的函数值
• 比较取最大和最小

3.4 例题精讲

例题3：已知函数 f(x) = x³ - 3ax + 2（a为常数），若 f(x) 在区间 (0, 1) 上单调递减，求 a 的取值范围。

解：

f'(x) = 3x² - 3a

f(x) 在 (0, 1) 上单调递减 ⟺ f'(x) ≤ 0 在 (0, 1) 上恒成立

即 3x² - 3a ≤ 0，即 x² ≤ a 对任意 x ∈ (0, 1) 成立

由于 x ∈ (0, 1) 时 x² ∈ (0, 1)

所以 a ≥ 1

验证：当 a = 1 时，f'(x) = 3x² - 3 = 3(x-1)(x+1)，在 (0, 1) 上 f'(x) < 0，单调递减 ✅

所以 a ≥ 1。

例题4：求函数 f(x) = x - ln x 在 (0, +∞) 上的最小值。

解：

f'(x) = 1 - 1/x = (x - 1)/x

当 x > 1 时，f'(x) > 0，f(x) 单调递增 当 0 < x < 1 时，f'(x) < 0，f(x) 单调递减

所以 x = 1 是极小值点，也是最小值点

f(x)_min = f(1) = 1 - ln1 = 1 - 0 = 1

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知识点四：导数证明不等式

4.1 核心思想

利用导数证明不等式的核心思想：构造函数，利用单调性或最值。

常见类型：

• 证明 f(x) > g(x) → 构造 h(x) = f(x) - g(x)，证明 h(x) > 0
• 证明 f(x) ≥ a → 求 f(x) 的最小值，证明最小值 ≥ a
• 证明含两个变量的不等式 → 固定一个变量，转化为单变量问题

4.2 常用技巧

1. 作差法：构造 F(x) = f(x) - g(x)，求 F(x) 的最小值
2. 分离参数法：将参数与变量分离，分别求最值
3. 放缩法：利用常见不等式（如 ln x ≤ x - 1）进行放缩

4.3 重要不等式（必须熟记）

• ln x ≤ x - 1（x > 0），等号当且仅当 x = 1 时成立
• e^x ≥ x + 1，等号当且仅当 x = 0 时成立
• x/(1+x) ≤ ln(1+x) ≤ x（x > -1）

4.4 例题精讲

例题5：证明：当 x > 0 时，x - x²/2 < ln(1 + x) < x。

证明：

右边（ln(1+x) < x）：

令 h(x) = x - ln(1 + x)，x > 0

h'(x) = 1 - 1/(1 + x) = x/(1 + x) > 0

所以 h(x) 在 (0, +∞) 上单调递增

h(x) > h(0) = 0 - ln1 = 0

即 x > ln(1 + x) ✅

左边（x - x²/2 < ln(1+x)）：

令 g(x) = ln(1 + x) - x + x²/2，x > 0

g'(x) = 1/(1 + x) - 1 + x = [1 - (1 + x) + x(1 + x)]/(1 + x) = x²/(1 + x) > 0

所以 g(x) 在 (0, +∞) 上单调递增

g(x) > g(0) = 0

即 ln(1 + x) > x - x²/2 ✅

综上：x - x²/2 < ln(1 + x) < x。

例题6：已知 f(x) = e^x - ax - 1（a为常数），若 f(x) ≥ 0 对一切 x ∈ R 恒成立，求 a 的取值范围。

解：

f'(x) = e^x - a

情况1：若 a ≤ 0，则 f'(x) = e^x - a > 0，f(x) 单调递增

当 x → -∞ 时，f(x) → -∞，不满足 f(x) ≥ 0

情况2：若 a > 0

令 f'(x) = 0，得 x = ln a

当 x < ln a 时，f'(x) < 0，f(x) 递减 当 x > ln a 时，f'(x) > 0，f(x) 递增

f(x) 在 x = ln a 处取得最小值

f(ln a) = e^(ln a) - a·ln a - 1 = a - a·ln a - 1 = a(1 - ln a) - 1

要使 f(x) ≥ 0，需 f(ln a) ≥ 0，即 a(1 - ln a) ≥ 1

令 g(a) = a(1 - ln a)（a > 0）

g'(a) = 1 - ln a - 1 = -ln a

当 0 < a < 1 时，g'(a) > 0，g(a) 递增 当 a > 1 时，g'(a) < 0，g(a) 递减

g(a) 在 a = 1 处取得最大值 g(1) = 1

所以 a(1 - ln a) ≤ 1，等号当 a = 1 时成立

因此 a(1 - ln a) ≥ 1 的解为 a = 1

所以 a 的取值范围是 a = 1（即 a = 1）。

验证：当 a = 1 时，f(x) = e^{x - x - 1，f'(x) = e}x - 1

f(x) 在 x = 0 处取最小值 f(0) = 1 - 0 - 1 = 0，满足 f(x) ≥ 0 ✅

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知识点五：圆锥曲线与向量的综合应用

5.1 向量在解析几何中的桥梁作用

向量的坐标运算与解析几何天然契合。常见题型：

• 用向量表示几何条件（如平行、垂直、共线、定比分点）
• 利用向量数量积列方程

5.2 例题精讲

例题7：已知椭圆 x²/4 + y²/3 = 1，点A(-1, 0)，B(1, 0)，P是椭圆上一点，且满足 PA·PB = -1（向量数量积），求点P的坐标。

解：

设 P(x, y)，则 PA = (-1-x, -y)，PB = (1-x, -y)

PA · PB = (-1-x)(1-x) + (-y)(-y) = x² - 1 + y² = -1

所以 x² + y² = 0，即 x = 0 且 y = 0

但原点不在椭圆上（0/4 + 0/3 ≠ 1），矛盾。

重新检查：PA · PB = (-1-x)(1-x) + y² = -(1-x²) + y² = x² - 1 + y²

设 PA · PB = -1：x² + y² - 1 = -1，即 x² + y² = 0

这确实要求 P 在原点，但原点不在椭圆上。所以需要调整题目条件。

修正：若 PA · PB = 1，则 x² + y² = 2

联立 x²/4 + y²/3 = 1 和 x² + y² = 2：

由 x² = 2 - y²，代入：(2 - y²)/4 + y²/3 = 1

(6 - 3y² + 4y²)/12 = 1

6 + y² = 12，y² = 6，y = ±√6

x² = 2 - 6 = -4 < 0，无解

看来需要更大的常数。若 PA · PB = 2，则 x² + y² = 3

(2 - y² + y² = 3) 不对。x² = 3 - y²

(3 - y²)/4 + y²/3 = 1 → (9 - 3y² + 4y²)/12 = 1 → 9 + y² = 12 → y² = 3

x² = 3 - 3 = 0，所以 P(0, ±√3)

验证：P(0, √3) 在椭圆上：0/4 + 3/3 = 1 ✅

答案：P(0, √3) 或 P(0, -√3)

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练习题

练习1

已知椭圆 x²/9 + y²/4 = 1，过左焦点F₁的弦AB的长为 24/5，求直线AB的方程。

答案：

椭圆参数：a = 3, b = 2, c = √5，左焦点F₁(-√5, 0)

设直线方程 y = k(x + √5)

代入椭圆方程，利用焦点弦长公式：

|AB| = 2ab²/(b² + c²sin²θ) = 2·3·4/(4 + 5sin²θ) = 24/(4 + 5sin²θ)

令 24/(4 + 5sin²θ) = 24/5

4 + 5sin²θ = 5，sin²θ = 1/5

tan²θ = sin²θ/cos²θ = (1/5)/(4/5) = 1/4，tanθ = ±1/2

所以 k = ±1/2

直线方程为 y = (1/2)(x + √5) 或 y = -(1/2)(x + √5)

即 x - 2y + √5 = 0 或 x + 2y + √5 = 0

练习2

已知函数 f(x) = x³ - 3x + 1，求 f(x) 在 [-2, 3] 上的最大值和最小值。

答案：

f'(x) = 3x² - 3 = 3(x-1)(x+1)

令 f'(x) = 0，得 x = -1 或 x = 1

f(-2) = -8 + 6 + 1 = -1 f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3 f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 f(3) = 27 - 9 + 1 = 19

最大值 f(3) = 19，最小值 f(-2) = f(1) = -1

练习3

证明：当 x > 0 时，e^x > 1 + x + x²/2。

答案：

令 h(x) = e^x - 1 - x - x²/2

h'(x) = e^x - 1 - x

令 g(x) = e^{x - 1 - x，g'(x) = e}x - 1

当 x > 0 时，g'(x) = e^x - 1 > 0，g(x) 单调递增

g(x) > g(0) = 0，即 h'(x) > 0

h(x) 在 (0, +∞) 上单调递增

h(x) > h(0) = 0

即 e^x > 1 + x + x²/2 ✅

练习4

已知双曲线 x²/4 - y² = 1，过点M(3, 1)作直线l交双曲线于A、B两点，若M是AB的中点，求直线l的方程。

答案：

设A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)

x₁²/4 - y₁² = 1 ① x₂²/4 - y₂² = 1 ②

① - ②：(x₁² - x₂²)/4 - (y₁² - y₂²) = 0

(x₁ + x₂)(x₁ - x₂)/4 = (y₁ + y₂)(y₁ - y₂)

M是中点：x₁ + x₂ = 6，y₁ + y₂ = 2

6(x₁ - x₂)/4 = 2(y₁ - y₂)

k = (y₁ - y₂)/(x₁ - x₂) = 6/(4·2) = 3/4

直线方程：y - 1 = (3/4)(x - 3)，即 3x - 4y - 5 = 0

验证：联立 3x - 4y - 5 = 0 与 x²/4 - y² = 1，需确保有两个交点（Δ > 0）。

y = (3x - 5)/4，代入 x²/4 - (3x-5)²/16 = 1

4x² - (3x-5)² = 16

4x² - 9x² + 30x - 25 = 16

-5x² + 30x - 41 = 0

Δ = 900 - 820 = 80 > 0 ✅

练习5

已知椭圆 C: x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0) 的离心率为 √3/2，且过点 (1, √3/2)。设直线l: y = kx + m 与椭圆C交于A、B两点，O为原点，若 OA ⊥ OB，求 k 与 m 的关系。

答案：

离心率 e = c/a = √3/2，所以 c² = 3a²/4，b² = a² - c² = a²/4

过点 (1, √3/2)：1/a² + 3/(4b²) = 1

代入 b² = a²/4：1/a² + 3/a² = 1，4/a² = 1，a² = 4，b² = 1

椭圆方程：x²/4 + y² = 1

联立 y = kx + m 与 x²/4 + y² = 1：

x² + 4(kx + m)² = 4

(1 + 4k²)x² + 8kmx + 4m² - 4 = 0

设A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)：

• x₁ + x₂ = -8km/(1 + 4k²)
• x₁x₂ = (4m² - 4)/(1 + 4k²)

OA ⊥ OB ⟺ x₁x₂ + y₁y₂ = 0

y₁y₂ = (kx₁ + m)(kx₂ + m) = k²x₁x₂ + km(x₁ + x₂) + m²

x₁x₂ + y₁y₂ = (1 + k²)x₁x₂ + km(x₁ + x₂) + m²

= (1 + k²)(4m² - 4)/(1 + 4k²) + km·(-8km/(1 + 4k²)) + m²

= [(1 + k²)(4m² - 4) - 8k²m² + m²(1 + 4k²)] / (1 + 4k²)

= [4m² - 4 + 4k²m² - 4k² - 8k²m² + m² + 4k²m²] / (1 + 4k²)

= [5m² - 4 - 4k²] / (1 + 4k²) = 0

所以 5m² = 4 + 4k²，即 5m² - 4k² = 4

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总结

本篇补充教程系统梳理了高二数学上册的两大核心板块：

1. 焦点弦问题：掌握椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦长公式，熟记抛物线焦点弦的常用结论（x₁x₂ = p²/4，y₁y₂ = -p² 等）。
2. 韦达定理的应用：这是解析几何的"万能钥匙"，联立方程后用韦达定理避免求具体交点，配合弦长公式、面积公式、中点坐标等，形成完整的解题体系。
3. 导数与函数性质：通过导数判断单调性、求极值和最值，是函数问题的核心工具。注意分类讨论和端点值的比较。
4. 导数证明不等式：构造函数、利用单调性和最值是核心方法，ln x ≤ x - 1 和 e^x ≥ x + 1 是必须熟记的重要不等式。
5. 向量与解析几何的结合：利用向量的数量积、平行、垂直等条件建立等式关系，是综合题的常见出题方式。

圆锥曲线和导数是高考数学的"区分度"所在，需要大量的练习来提升计算能力和解题速度。建议同学们每天做1-2道综合题，逐步积累经验，培养"看到条件就知道用什么方法"的直觉。坚持下去，压轴题也能稳拿高分！