高等数学（上）补充教程——极限与积分技巧

概述

高等数学（上册）的核心内容围绕微积分的两大基石展开：极限与积分。极限是微积分的理论基础，导数和定积分的定义都建立在极限之上；积分则是微积分的核心运算之一，在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。

本教程作为课堂教学的补充，重点讲解极限计算的各种高级技巧、不定积分与定积分的实用计算方法，以及积分的典型应用。内容覆盖洛必达法则、泰勒展开、换元积分法、分部积分法、有理函数积分等核心方法，旨在帮助读者突破计算瓶颈，提升解题能力。

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知识点一：极限计算的综合技巧

核心要点

极限计算是高等数学的基本功。除了基本的四则运算法则和两个重要极限外，掌握以下高级技巧至关重要：

1. 等价无穷小替换

当 \(x \to 0\) 时，以下等价关系是最常用的工具：

• \(\sin x \sim x\)
• \(\tan x \sim x\)
• \(\arcsin x \sim x\)
• \(\arctan x \sim x\)
• \(1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}\)
• \(e^x - 1 \sim x\)
• \(\ln(1+x) \sim x\)
• \((1+x)^a - 1 \sim ax\)

使用原则：等价无穷小替换只能在乘除因子中使用，不能在加减项中直接替换。

2. 洛必达法则

适用于 \(\frac{0}{0}\) 或 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型不定式：

\(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\)

注意事项：

• 必须验证是否为 \(\frac{0}{0}\) 或 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型
• 求导后极限必须存在（或为无穷大）
• 可以连续使用，但要注意判断是否真正简化了问题

3. 泰勒展开法

当其他方法难以奏效时，泰勒展开是处理复杂极限的"终极武器"。将函数展开到足够高的阶数，通常可以快速消去低阶项，得到结果。

例子：综合运用技巧

例1：求 \(\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}\)

解法一（洛必达法则）：这是 \(\frac{0}{0}\) 型。

\(\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} = \frac{1}{6}\)

解法二（泰勒展开）：将 \(\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\) 代入：

\(\lim_{x \to 0} \frac{x - (x - \frac{x^3}{6} + o(x^3))}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{6} + o(x^3)}{x^3} = \frac{1}{6}\)

泰勒展开法更直接，避免了多次求导。

例2：求 \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}\)

这是 \(\frac{0}{0}\) 型，使用泰勒展开：

• 分子：\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)\)，\(e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\)
• 分子 \(= (1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}) - (1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}) - 2x + o(x^3) = \frac{x^3}{3} + o(x^3)\)
• 分母：\(x - \sin x = \frac{x^3}{6} + o(x^3)\)

\(\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{3}}{\frac{x^3}{6}} = 2\)

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知识点二：不定积分的计算方法

核心要点

不定积分是求导的逆运算，但计算难度远大于求导。核心方法有三类：

1. 第一类换元法（凑微分法）

基本思想：将被积函数凑成 \(f(g(x)) \cdot g'(x)\) 的形式，然后令 \(u = g(x)\)。

常用凑微分公式：

• \(\int f(ax+b) dx = \frac{1}{a} F(ax+b) + C\)
• \(\int x^n f(x^{n+1}) dx = \frac{1}{n+1} \int f(x^{n+1}) d(x^{n+1})\)
• \(\int f(\ln x) \cdot \frac{1}{x} dx = \int f(\ln x) d(\ln x)\)
• \(\int f(e^x) \cdot e^x dx = \int f(e^x) d(e^x)\)
• \(\int f(\sin x) \cos x dx = \int f(\sin x) d(\sin x)\)

2. 第二类换元法（变量代换法）

适用于含根号的被积函数，常用代换：

被积函数特征	推荐代换
\(\sqrt{a^2 - x^2}\)	\(x = a\sin t\)
\(\sqrt{a^2 + x^2}\)	\(x = a\tan t\)
\(\sqrt{x^2 - a^2}\)	\(x = a\sec t\)
\(\sqrt[n]{ax+b}\)	\(t = \sqrt[n]{ax+b}\)

3. 分部积分法

公式：\(\int u \, dv = uv - \int v \, du\)

选择 \(u\) 的优先顺序（"反对幂指三"口诀）：

• 反三角函数
• 对数函数
• 幂函数（多项式）
• 指数函数
• 三角函数

排在前面的优先选为 \(u\)。

例子

例1：求 \(\int \frac{x}{1+x^2} dx\)

令 \(u = 1 + x^2\)，则 \(du = 2x \, dx\)，\(x \, dx = \frac{1}{2} du\)

\(\int \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln|u| + C = \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C\)

例2：求 \(\int \sqrt{4 - x^2} \, dx\)

令 \(x = 2\sin t\)，\(dx = 2\cos t \, dt\)

\(\int \sqrt{4 - 4\sin^2 t} \cdot 2\cos t \, dt = \int 2\cos t \cdot 2\cos t \, dt = 4 \int \cos^2 t \, dt\)

\(= 4 \int \frac{1 + \cos 2t}{2} dt = 2t + \sin 2t + C = 2t + 2\sin t \cos t + C\)

回代：\(t = \arcsin\frac{x}{2}\)，\(\cos t = \frac{\sqrt{4-x^2}}{2}\)

\(= 2\arcsin\frac{x}{2} + \frac{x\sqrt{4-x^2}}{2} + C\)

例3：求 \(\int x e^x \, dx\)

使用分部积分法，令 \(u = x\)，\(dv = e^x dx\)，则 \(du = dx\)，\(v = e^x\)

\(\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C = (x-1)e^x + C\)

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知识点三：有理函数与三角函数积分

核心要点

有理函数积分的关键步骤是部分分式分解。任何有理函数 \(\frac{P(x)}{Q(x)}\)（其中 \(P\) 的次数小于 \(Q\) 的次数）都可以分解为部分分式的和。

分解规则：

分母的因式	对应的部分分式
\((x-a)^n\)	\(\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \cdots + \frac{A_n}{(x-a)^n}\)
\((x^2+px+q)^n\)（不可约）	\(\frac{A_1 x + B_1}{x^2+px+q} + \cdots + \frac{A_n x + B_n}{(x^2+px+q)^n}\)

三角函数积分的常用技巧：

1. 万能代换：令 \(t = \tan\frac{x}{2}\)，可将三角函数积分化为有理函数积分
2. 利用三角恒等式化简被积函数
3. 特殊类型的公式：
   • \(\int \sin^m x \cos^n x \, dx\)（\(m\) 或 \(n\) 为奇数时，拆出一个进行换元）

例子

例1：求 \(\int \frac{1}{x^2 - 1} dx\)

部分分式分解：\(\frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right)\)

\(\int \frac{1}{x^2-1} dx = \frac{1}{2}\ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|x+1| + C = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C\)

例2：求 \(\int \frac{1}{\sin x} dx\)

\(\int \csc x \, dx = \int \frac{1}{\sin x} dx = \int \frac{\sin x}{\sin^2 x} dx = \int \frac{\sin x}{1 - \cos^2 x} dx\)

令 \(u = \cos x\)，\(du = -\sin x \, dx\)：

\(= -\int \frac{1}{1-u^2} du = -\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+u}{1-u}\right| + C = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right| + C\)

也可以写成：\(\ln|\csc x - \cot x| + C\)

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知识点四：定积分的计算与应用

核心要点

定积分的计算在不定积分的基础上增加了上下限的处理和几何意义的理解。

牛顿-莱布尼茨公式：

\(\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\)

其中 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的一个原函数。

定积分的特殊技巧：

1. 区间再现公式：\(\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx\)
2. 奇偶性：若 \(f(x)\) 为偶函数，则 \(\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_0^a f(x) dx\)；若为奇函数，则积分为 0
3. 周期性：\(\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^T f(x) dx\)（\(T\) 为周期）
4. 华里士公式（点火公式）：\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx\)

定积分的几何应用：

• 面积：\(S = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx\)
• 旋转体体积：
  • 绕 \(x\) 轴：\(V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx\)
  • 绕 \(y\) 轴（壳法）：\(V = 2\pi \int_a^b x |f(x)| dx\)
• 弧长：\(L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx\)

例子

例1：求 \(\int_0^{\pi} x \sin x \, dx\)

使用分部积分：令 \(u = x\)，\(dv = \sin x \, dx\)

\(= [-x\cos x]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos x \, dx = -\pi\cos\pi + 0 + [\sin x]_0^{\pi} = \pi + 0 = \pi\)

例2：求由 \(y = x^2\) 和 \(y = \sqrt{x}\) 围成的面积

两曲线交点：\(x^2 = \sqrt{x}\)，即 \(x^4 = x\)，\(x(x^3-1) = 0\)，得 \(x = 0\) 和 \(x = 1\)

在 \([0,1]\) 上 \(\sqrt{x} \geq x^2\)，所以：

\(S = \int_0^1 (\sqrt{x} - x^2) dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\)

例3：求 \(y = \sin x\)（\(0 \leq x \leq \pi\)）绕 \(x\) 轴旋转所得旋转体的体积

\(V = \pi \int_0^{\pi} \sin^2 x \, dx = \pi \int_0^{\pi} \frac{1-\cos 2x}{2} dx = \frac{\pi}{2}\left[x - \frac{\sin 2x}{2}\right]_0^{\pi} = \frac{\pi^2}{2}\)

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知识点五：反常积分（广义积分）

核心要点

反常积分是定积分向无穷区间或无界函数的推广，分为两类：

第一类（无穷限）： \(\int_a^{+\infty} f(x) dx = \lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x) dx\)

第二类（瑕积分）： \(\int_a^b f(x) dx \quad \text{（其中 } f(x) \text{ 在某点无界）}\)

收敛判别法：

1. 比较判别法：若 \(0 \leq f(x) \leq g(x)\)，且 \(\int g(x) dx\) 收敛，则 \(\int f(x) dx\) 收敛
2. 极限比较判别法：若 \(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = c\)（\(0 < c < +\infty\)），则两者同敛散
3. p-积分：\(\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx\) 当 \(p > 1\) 时收敛，\(p \leq 1\) 时发散

例子

例1：判断 \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2+1} dx\) 的敛散性

\(\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2+1} dx = \lim_{b \to +\infty} [\arctan x]_1^b = \lim_{b \to +\infty} \arctan b - \arctan 1 = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}\)

该反常积分收敛，值为 \(\frac{\pi}{4}\)。

例2：判断 \(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx\) 的敛散性

\(x = 0\) 是瑕点：

\(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \lim_{a \to 0^+} [2\sqrt{x}]_a^1 = 2 - 0 = 2\)

该瑕积分收敛，值为 \(2\)。

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练习题

练习一：极限计算

求以下极限：

(1) \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}\)

(2) \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}\)

参考答案：

(1) 方法一（泰勒展开）：\(\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)\)，\(\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\)

\(\frac{(x + \frac{x^3}{3}) - (x - \frac{x^3}{6})}{x^3} = \frac{\frac{x^3}{2}}{x^3} = \frac{1}{2}\)

方法二（等价无穷小）：\(\tan x - \sin x = \sin x(\frac{1}{\cos x} - 1) = \sin x \cdot \frac{1-\cos x}{\cos x}\)

当 \(x \to 0\) 时，\(\sin x \sim x\)，\(1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}\)，\(\cos x \to 1\)

\(\frac{x \cdot \frac{x^2}{2}}{x^3} = \frac{1}{2}\)

(2) \(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)\)

\(\frac{(1 + x + \frac{x^2}{2}) - 1 - x}{x^2} = \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \frac{1}{2}\)

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练习二：不定积分计算

求以下不定积分：

(1) \(\int \frac{1}{1+e^x} dx\)

(2) \(\int x^2 \ln x \, dx\)

参考答案：

(1) 分子分母同乘 \(e^{-x}\)：

\(\int \frac{e^{-x}}{e^{-x}+1} dx = -\int \frac{1}{e^{-x}+1} d(e^{-x}+1) = -\ln(e^{-x}+1) + C\)

也可以写成 \(x - \ln(1+e^x) + C\)

验证：\([-\ln(e^{-x}+1)]' = -\frac{-e^{-x}}{e^{-x}+1} = \frac{e^{-x}}{e^{-x}+1} = \frac{1}{1+e^x}\) ✓

(2) 分部积分，令 \(u = \ln x\)，\(dv = x^2 dx\)

\(\int x^2 \ln x \, dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{1}{3}\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C\)

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练习三：定积分计算

求以下定积分：

(1) \(\int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx\)

(2) \(\int_0^{\pi/2} \cos^3 x \, dx\)

参考答案：

(1) 令 \(u = 1+x^2\)，\(du = 2x\,dx\)

\(\int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2}\int_1^2 \frac{1}{u} du = \frac{1}{2}[\ln u]_1^2 = \frac{1}{2}\ln 2\)

(2) \(\int_0^{\pi/2} \cos^3 x \, dx = \int_0^{\pi/2} \cos^2 x \cdot \cos x \, dx = \int_0^{\pi/2} (1-\sin^2 x) \cos x \, dx\)

令 \(u = \sin x\)，\(du = \cos x \, dx\)：

\(= \int_0^1 (1-u^2) du = [u - \frac{u^3}{3}]_0^1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)

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练习四：定积分应用

求由 \(y = e^x\)、\(y = e^{-x}\) 和 \(x = 1\) 围成的区域绕 \(y\) 轴旋转所得旋转体的体积。

参考答案：

使用壳法（绕 \(y\) 轴旋转）：

在 \([0,1]\) 上 \(e^x \geq e^{-x}\)，壳法公式：

\(V = 2\pi \int_0^1 x(e^x - e^{-x}) dx\)

分别计算：

\(\int_0^1 x e^x dx = [xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - (e-1) = 1\)

\(\int_0^1 x e^{-x} dx = [-xe^{-x}]_0^1 + \int_0^1 e^{-x} dx = -e^{-1} + [-e^{-x}]_0^1 = -e^{-1} + 1 - e^{-1} = 1 - 2e^{-1}\)

\(V = 2\pi[1 - (1 - 2e^{-1})] = 2\pi \cdot 2e^{-1} = \frac{4\pi}{e}\)

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练习五：反常积分

判断以下反常积分的敛散性，若收敛求其值：

\(\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{x^2} dx\)

参考答案：

分部积分，令 \(u = \ln x\)，\(dv = \frac{1}{x^2} dx\)，则 \(du = \frac{1}{x} dx\)，\(v = -\frac{1}{x}\)

\(\int_1^b \frac{\ln x}{x^2} dx = \left[-\frac{\ln x}{x}\right]_1^b + \int_1^b \frac{1}{x^2} dx = -\frac{\ln b}{b} + 0 + \left[-\frac{1}{x}\right]_1^b = -\frac{\ln b}{b} - \frac{1}{b} + 1\)

当 \(b \to +\infty\) 时，\(\frac{\ln b}{b} \to 0\)（洛必达法则），\(\frac{1}{b} \to 0\)

\(\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{x^2} dx = 1\)

该反常积分收敛，值为 \(1\)。

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总结

高等数学（上册）的极限与积分是整个微积分体系的基石。通过本教程的学习，我们梳理了以下核心技巧：

1. 极限计算：等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒展开是三大核心工具。泰勒展开在处理复杂极限时往往最高效，建议熟练掌握常见函数的展开式。

2. 不定积分：凑微分法是基础，换元法解决根号问题，分部积分法处理乘积型被积函数。有理函数的部分分式分解和三角函数的万能代换是两类特殊但重要的方法。

3. 定积分：在不定积分基础上，注意利用奇偶性、周期性、区间再现等技巧简化计算。几何应用（面积、体积、弧长）是定积分的重要应用场景。

4. 反常积分：关键是判断敛散性，比较判别法和 p-积分是最常用的工具。

掌握这些技巧需要大量的练习。建议在理解方法原理的基础上，通过做题来培养"看到被积函数就能想到方法"的直觉。微积分的计算能力，最终是练出来的。