高等数学（下）入门教程——多元微积分与级数

概述

高等数学下册是大学数学的重要组成部分，内容涵盖多元函数微分学、重积分、曲线曲面积分和无穷级数四大板块。这些知识不仅是后续专业课程的数学基础，也是考研数学的重点考查内容。本教程将系统讲解各板块的核心概念、计算方法和典型例题，帮助同学们建立清晰的知识框架，掌握解题技巧。

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核心知识点一：多元函数微分学

1.1 多元函数的基本概念

多元函数的定义： 设D是Rⁿ的一个非空子集，如果对于D中的每一个点P(x₁, x₂, ..., xₙ)，按照某种对应法则f，都有唯一确定的实数z与之对应，则称f为D上的n元函数，记作z = f(x₁, x₂, ..., xₙ)。

二元函数的几何意义： z = f(x, y)在几何上一般表示空间中的一张曲面。

二元函数的极限： 设函数f(x, y)在点P₀(x₀, y₀)的某去心邻域内有定义，如果存在常数A，使得当(x, y)以任何方式趋近于(x₀, y₀)时，f(x, y)都趋近于A，则称A为f(x, y)在(x₀, y₀)处的二重极限。

重要提醒： 二元函数极限要求(x, y)以任何路径趋近于(x₀, y₀)时极限都存在且相等。因此，证明极限不存在只需找到两条不同路径使极限值不同即可。

1.2 偏导数

偏导数的定义： 设函数z = f(x, y)在点(x₀, y₀)的某邻域内有定义，如果极限

\(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}\)

存在，则称此极限为函数z = f(x, y)在点(x₀, y₀)处对x的偏导数，记作∂z/∂x 或 fₓ(x₀, y₀)。

偏导数的计算方法： 求偏导数时，只需将其他变量视为常数，对目标变量求导即可。

例题1： 求z = x³y + 2xy² - y³的偏导数。

解答：

• ∂z/∂x = 3x²y + 2y²（将y视为常数）
• ∂z/∂y = x³ + 4xy - 3y²（将x视为常数）

高阶偏导数： 如果z = f(x, y)的偏导数∂z/∂x和∂z/∂y仍然可以对x和y求偏导数，则得到四个二阶偏导数：∂²z/∂x²、∂²z/∂x∂y、∂²z/∂y∂x、∂²z/∂y²。当两个混合偏导数在区域内连续时，它们相等：∂²z/∂x∂y = ∂²z/∂y∂x。

1.3 全微分

全微分的定义： 如果函数z = f(x, y)在点(x, y)处的全增量Δz = f(x+Δx, y+Δy) - f(x, y)可以表示为Δz = AΔx + BΔy + o(ρ)，其中A、B不依赖于Δx和Δy，ρ = √(Δx² + Δy²)，则称函数在该点可微，AΔx + BΔy称为函数的全微分，记作dz = AΔx + BΔy。

可微的必要条件： 如果函数z = f(x, y)在点(x, y)处可微，则：

• 函数在该点连续
• 函数在该点的偏导数∂z/∂x和∂z/∂y都存在，且dz = (∂z/∂x)Δx + (∂z/∂y)Δy

可微的充分条件： 如果函数z = f(x, y)的偏导数∂z/∂x和∂z/∂y在点(x, y)处连续，则函数在该点可微。

1.4 复合函数求导（链式法则）

定理： 如果u = φ(x, y)和v = ψ(x, y)在点(x, y)处有偏导数，z = f(u, v)在对应点(u, v)处有连续偏导数，则复合函数z = f[φ(x, y), ψ(x, y)]在点(x, y)处的偏导数为：

• ∂z/∂x = (∂z/∂u)(∂u/∂x) + (∂z/∂v)(∂v/∂x)
• ∂z/∂y = (∂z/∂u)(∂u/∂y) + (∂z/∂v)(∂v/∂y)

例题2： 设z = eᵘsin v，其中u = xy，v = x + y，求∂z/∂x。

解答：

• ∂z/∂u = eᵘsin v，∂z/∂v = eᵘcos v
• ∂u/∂x = y，∂v/∂x = 1
• ∂z/∂x = eᵘsin v · y + eᵘcos v · 1 = eˣʸ(y sin(x+y) + cos(x+y))

1.5 隐函数求导

由方程F(x, y) = 0确定的隐函数： 如果F(x, y) = 0确定了y是x的函数，则dy/dx = -Fₓ/Fᵧ（Fᵧ ≠ 0）

由方程F(x, y, z) = 0确定的隐函数： 如果F(x, y, z) = 0确定了z是x, y的函数，则：

• ∂z/∂x = -Fₓ/Fᵤ
• ∂z/∂y = -Fᵧ/Fᵤ

例题3： 设x² + y² + z² = 1，求∂z/∂x和∂z/∂y。

解答： 令F(x, y, z) = x² + y² + z² - 1，则Fₓ = 2x，Fᵧ = 2y，Fᵤ = 2z

• ∂z/∂x = -2x/2z = -x/z
• ∂z/∂y = -2y/2z = -y/z

1.6 多元函数的极值

极值的必要条件： 如果函数z = f(x, y)在点(x₀, y₀)处有极值，且在该点的偏导数存在，则fₓ(x₀, y₀) = 0，fᵧ(x₀, y₀) = 0。

极值的充分条件： 设(x₀, y₀)是驻点，令A = fₓₓ(x₀, y₀)，B = fₓᵧ(x₀, y₀)，C = fᵧᵧ(x₀, y₀)，则：

• 当AC - B² > 0且A > 0时，f(x₀, y₀)为极小值
• 当AC - B² > 0且A < 0时，f(x₀, y₀)为极大值
• 当AC - B² < 0时，f(x₀, y₀)不是极值
• 当AC - B² = 0时，需要进一步判断

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核心知识点二：重积分

2.1 二重积分

二重积分的定义： 设f(x, y)是有界闭区域D上的有界函数，将D任意分成n个小区域Δσᵢ，在每个小区域上任取一点(ξᵢ, ηᵢ)，如果当各小区域的直径的最大值λ→0时，和式Σf(ξᵢ, ηᵢ)Δσᵢ的极限存在，则称此极限为函数f(x, y)在闭区域D上的二重积分，记作∬_D f(x, y)dσ。

二重积分的计算方法：

直角坐标系下：

• X型区域：D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, φ₁(x) ≤ y ≤ φ₂(x)}
  • ∬_D f(x, y)dσ = ∫ₐᵇ dx ∫_{φ₁(x)}^{φ₂(x)} f(x, y)dy
• Y型区域：D = {(x, y) | c ≤ y ≤ d, ψ₁(y) ≤ x ≤ ψ₂(y)}
  • ∬_D f(x, y)dσ = ∫꜀ᵈ dy ∫_{ψ₁(y)}^{ψ₂(y)} f(x, y)dx

极坐标系下：

• 当积分区域是圆域或被积函数含x² + y²时，使用极坐标更方便
• ∬_D f(x, y)dσ = ∬_D f(r cos θ, r sin θ)r dr dθ

例题4： 计算∬_D xy dσ，其中D是由x² + y² = 4和x轴、y轴围成的第一象限区域。

解答： 使用极坐标，D = {(r, θ) | 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π/2}

∬_D xy dσ = ∫₀^{π/2} dθ ∫₀² (r cos θ)(r sin θ) · r dr = ∫₀^{π/2} cos θ sin θ dθ · ∫₀² r³ dr = [sin²θ/2]₀^{π/2} · [r⁴/4]₀² = (1/2) · 4 = 2

2.2 三重积分

三重积分的定义： 类似于二重积分，将积分区域从平面推广到空间区域。

三重积分的计算方法：

直角坐标系（先一后二法）：

• ∭_Ω f(x, y, z)dV = ∬_D dσ ∫_{z₁(x,y)}^{z₂(x,y)} f(x, y, z)dz

柱面坐标系：

• x = r cos θ, y = r sin θ, z = z
• dV = r dr dθ dz
• 适用于积分区域为柱体或旋转体

球面坐标系：

• x = r sin φ cos θ, y = r sin φ sin θ, z = r cos φ
• dV = r² sin φ dr dφ dθ
• 适用于积分区域为球体或球壳

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核心知识点三：曲线积分与曲面积分

3.1 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）

定义： ∫_L f(x, y, ds)表示函数f(x, y)沿曲线L对弧长的曲线积分。

计算方法： 将曲线L参数化为x = φ(t), y = ψ(t)（α ≤ t ≤ β），则：

∫_L f(x, y)ds = ∫_α^β f[φ(t), ψ(t)]√[φ'(t)² + ψ'(t)²] dt

3.2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）

定义： ∫_L P dx + Q dy表示向量场F = (P, Q)沿有向曲线L的功。

格林公式： 设D是平面上的有界闭区域，其边界L取正向，则：

∮_L P dx + Q dy = ∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y)dσ

格林公式建立了曲线积分与二重积分之间的联系，是计算曲线积分的重要工具。

3.3 曲面积分

第一类曲面积分（对面积的曲面积分）：

• ∬_Σ f(x, y, z)dS
• 计算时将曲面Σ投影到坐标平面

第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）：

• ∬_Σ P dydz + Q dzdx + R dxdy

高斯公式： 设Ω是空间有界闭区域，其边界Σ取外侧，则：

∯_Σ P dydz + Q dzdx + R dxdy = ∭_Ω (∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z)dV

斯托克斯公式： 建立了曲面积分与曲线积分之间的联系。

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核心知识点四：无穷级数

4.1 数项级数

级数的概念： 设有数列{uₙ}，则Σuₙ = u₁ + u₂ + u₃ + ...称为无穷级数。

级数收敛的定义： 设Sₙ = u₁ + u₂ + ... + uₙ为级数的部分和，如果lim(n→∞) Sₙ = S存在，则称级数收敛，S为级数的和。

收敛的必要条件： 如果级数Σuₙ收敛，则lim(n→∞) uₙ = 0。注意：反之不一定成立（如调和级数）。

常用判别法：

判别法	适用条件	结论
比较判别法	与已知级数比较	大的收敛则小的收敛；小的发散则大的发散
比值判别法	lim uₙ₊₁/uₙ = ρ	ρ < 1收敛，ρ > 1发散，ρ = 1不确定
根值判别法	lim ⁿ√uₙ = ρ	ρ < 1收敛，ρ > 1发散，ρ = 1不确定
莱布尼茨判别法	交错级数	uₙ单调递减且趋于0则收敛

重要级数：

• 几何级数：Σaqⁿ，当|q| < 1时收敛，|q| ≥ 1时发散
• p-级数：Σ1/nᵖ，当p > 1时收敛，p ≤ 1时发散
• 调和级数：Σ1/n发散

4.2 幂级数

幂级数的概念： Σaₙ(x - x₀)ⁿ称为x - x₀的幂级数。

收敛半径的求法： 对于幂级数Σaₙxⁿ，如果lim|aₙ₊₁/aₙ| = ρ，则收敛半径R = 1/ρ。

幂级数的性质：

• 在收敛区间内可以逐项求导
• 在收敛区间内可以逐项积分
• 收敛区间内的和函数是连续函数

例题5： 求幂级数Σ(xⁿ/n)的收敛域。

解答：

• aₙ = 1/n，ρ = lim|aₙ₊₁/aₙ| = lim(n/(n+1)) = 1
• 收敛半径R = 1
• 当x = 1时，级数为调和级数，发散
• 当x = -1时，级数为交错级数Σ(-1)ⁿ/n，由莱布尼茨判别法知收敛
• 收敛域为[-1, 1)

4.3 函数展开为幂级数

泰勒级数： 如果函数f(x)在x₀的某邻域内有任意阶导数，则：

f(x) = Σ[f⁽ⁿ⁾(x₀)/n!](x - x₀)ⁿ

常用展开式：

• eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ... （-∞ < x < +∞）
• sin x = x - x³/3! + x⁵/5! - ... （-∞ < x < +∞）
• cos x = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ... （-∞ < x < +∞）
• 1/(1-x) = 1 + x + x² + x³ + ... （|x| < 1）
• ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 - ... （-1 < x ≤ 1）

4.4 傅里叶级数

傅里叶级数的概念： 以2π为周期的函数f(x)可以展开为：

f(x) = a₀/2 + Σ(aₙcos nx + bₙsin nx)

其中：

• a₀ = (1/π)∫_{-π}^{π} f(x)dx
• aₙ = (1/π)∫_{-π}^{π} f(x)cos nx dx
• bₙ = (1/π)∫_{-π}^{π} f(x)sin nx dx

狄利克雷收敛定理： 如果f(x)在[-π, π]上满足：①连续或只有有限个第一类间断点；②只有有限个极值点，则f(x)的傅里叶级数在连续点处收敛于f(x)，在间断点处收敛于左极限与右极限的平均值。

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练习题

练习一

设z = ln(x² + y²)，求∂z/∂x和∂z/∂y。

解答：

• ∂z/∂x = 2x/(x² + y²)
• ∂z/∂y = 2y/(x² + y²)

练习二

计算∬_D (x + y)dσ，其中D是由直线x = 0、y = 0和x + y = 1围成的区域。

解答： ∬_D (x + y)dσ = ∫₀¹ dx ∫₀^{1-x} (x + y)dy = ∫₀¹ [xy + y²/2]₀^{1-x} dx = ∫₀¹ [x(1-x) + (1-x)²/2] dx = ∫₀¹ (x - x² + 1/2 - x + x²/2) dx = ∫₀¹ (1/2 - x²/2) dx = [x/2 - x³/6]₀¹ = 1/2 - 1/6 = 1/3

练习三

判断级数Σ(n/2ⁿ)的收敛性，若收敛求其和。

解答： 使用比值判别法：lim|uₙ₊₁/uₙ| = lim|(n+1)/2ⁿ⁺¹ · 2ⁿ/n| = lim(n+1)/(2n) = 1/2 < 1

因此级数收敛。

设S = Σ(n/2ⁿ) = 1/2 + 2/4 + 3/8 + ...

S/2 = 1/4 + 2/8 + 3/16 + ...

S - S/2 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1

所以S = 2。

练习四

将函数f(x) = eˣ展开为麦克劳林级数。

解答： f(x) = eˣ，f⁽ⁿ⁾(0) = 1对所有n成立

eˣ = Σ(xⁿ/n!) = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ... （-∞ < x < +∞）

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总结

高等数学下册的学习需要掌握以下要点：

1. 多元函数微分学：重点掌握偏导数、全微分、复合函数求导和隐函数求导的计算方法。
2. 重积分：熟练掌握二重积分和三重积分的计算，特别是坐标系的选择。
3. 曲线曲面积分：理解两类积分的区别，掌握格林公式、高斯公式和斯托克斯公式的应用。
4. 无穷级数：重点掌握级数收敛性判别、幂级数的收敛域和函数展开。

建议同学们在学习过程中多做习题，特别是计算题，通过大量练习提高计算能力。同时要注意各知识点之间的联系，如格林公式将曲线积分转化为二重积分，高斯公式将曲面积分转化为三重积分等。