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内容简介
系统讲解高二下册物理核心内容，涵盖热学（分子动理论、气体）、光学、原子物理、核物理等选修内容。
高二物理下册教程——热学与近代物理
适用年级：高二下册
科目：物理（选修）
内容范围：分子动理论、气体性质、光学、原子物理、核物理
目录
第一章 分子动理论
1.1 物质是由大量分子组成的
1.1.1 分子的大小
分子是保持物质化学性质的最小微粒。分子非常小，一般分子的直径数量级为 \(10^{-10}\text{ m}\)（即1埃，1Å）。例如水分子的直径约为 \(4\times10^{-10}\text{ m}\)。
1.1.2 阿伏伽德罗常数
阿伏伽德罗常数 \(N_A = 6.02\times10^{23}\text{ mol}^{-1}\)，表示1摩尔任何物质中含有的分子（或原子）数。
重要推论：
- 已知物质的摩尔质量 \(M\)，则单个分子的质量为：\(m_0 = \dfrac{M}{N_A}\)
- 已知物质的摩尔体积 \(V_m\)，则单个分子的体积为：\(V_0 = \dfrac{V_m}{N_A}\)（适用于固体和液体）
注意： 对于气体，\(V_0 = \dfrac{V_m}{N_A}\) 表示的是每个气体分子平均占据的空间体积，而非分子本身的体积。气体分子之间的距离远大于分子本身的大小。
1.1.3 油膜法估测分子大小
实验原理： 将一滴已知体积 \(V\) 的油酸滴在水面上，让其充分展开形成单分子油膜。假设油膜为单分子层且分子紧密排列，则油膜厚度即为分子直径。
\(d = \frac{V}{S}\)
其中 \(S\) 为油膜面积，\(V\) 为一滴油酸的纯油酸体积。
1.2 分子的热运动
1.2.1 布朗运动
布朗运动是悬浮在液体（或气体）中的微小颗粒所做的无规则运动。
要点：
- 布朗运动不是分子的运动，而是固体小颗粒的运动
- 布朗运动反映了液体（或气体）分子的无规则热运动
- 温度越高，布朗运动越剧烈
- 颗粒越小，布朗运动越明显
本质： 液体分子从各个方向撞击悬浮颗粒，由于分子运动的无规则性，在任一时刻，颗粒受到的撞击力不平衡，导致颗粒做无规则运动。
1.2.2 扩散现象
扩散是不同物质相互接触时，彼此进入对方的现象。
- 扩散现象说明分子在不停地做无规则运动
- 温度越高，扩散越快
- 扩散可以在固体、液体、气体中发生
1.3 分子间的作用力
1.3.1 分子间引力和斥力同时存在
分子间同时存在引力 \(f_{引}\) 和斥力 \(f_{斥}\)，它们都随分子间距 \(r\) 的增大而减小，但斥力减小得更快。
| 分子间距 \(r\) | 引力与斥力关系 | 合力表现 |
|---|---|---|
| \(r < r_0\) | \(f_{斥} > f_{引}\) | 斥力（表现为斥力） |
| \(r = r_0\) | \(f_{斥} = f_{引}\) | 合力为零（平衡位置） |
| \(r > r_0\) | \(f_{引} > f_{斥}\) | 引力（表现为引力） |
| \(r \gg 10r_0\) | 引力和斥力都趋近于零 | 分子力可忽略 |
其中 \(r_0\) 约为 \(10^{-10}\text{ m}\)，是分子间的平衡距离（数量级与分子直径相同）。
1.3.2 分子势能
分子间存在由相对位置决定的势能，称为分子势能。
- 当 \(r = r_0\) 时，分子势能最小
- 当 \(r\) 从 \(r_0\) 增大或减小时，分子势能都增大
- 分子势能的变化类比于弹簧的弹性势能
1.4 物体的内能
1.4.1 分子动能与分子平均动能
分子由于运动而具有的能量称为分子动能。由于每个分子的运动速率不同，单个分子的动能没有实际意义，我们关心的是分子平均动能。
温度是分子平均动能的标志： 温度越高，分子的平均动能越大。
1.4.2 物体的内能
物体的内能是物体中所有分子热运动的动能和分子势能的总和。
\(U = E_k + E_p\)
影响内能的因素：
- 温度——温度升高，分子平均动能增大，内能增大
- 体积——体积变化导致分子势能变化
- 物质的量——分子数越多，内能越大
- 物质种类——不同物质分子间作用力不同
注意： 理想气体不考虑分子间作用力（分子间距离很大），因此理想气体没有分子势能，其内能仅取决于温度和物质的量。
1.4.3 改变内能的两种方式
| 方式 | 本质 | 特点 |
|---|---|---|
| 做功 | 其他形式的能与内能之间的转化 | 内能变化量可用功来量度 |
| 热传递 | 内能从高温物体转移到低温物体 | 内能变化量可用热量来量度 |
热力学第一定律： \(\Delta U = W + Q\)
- \(\Delta U\)：物体内能的变化量
- \(W\)：外界对物体做的功（外界对系统做功为正，系统对外做功为负）
- \(Q\)：物体吸收的热量（吸热为正，放热为负）
1.5 知识点总结表
| 知识点 | 核心内容 | 关键公式/概念 |
|---|---|---|
| 分子大小 | 数量级 \(10^{-10}\text{ m}\) | 油膜法：\(d=V/S\) |
| 阿伏伽德罗常数 | \(N_A=6.02\times10^{23}\text{ mol}^{-1}\) | \(m_0=M/N_A\) |
| 布朗运动 | 固体颗粒的无规则运动 | 反映分子热运动 |
| 分子力 | 引力和斥力同时存在 | \(r_0\approx10^{-10}\text{ m}\) |
| 内能 | 分子动能+分子势能 | 理想气体内能仅由温度决定 |
| 热力学第一定律 | 能量守恒在热学中的体现 | \(\Delta U=W+Q\) |
1.6 典型例题
【例题1】 已知水的摩尔质量 \(M=18\text{ g/mol}\)，水的密度 \(\rho=1.0\times10^3\text{ kg/m}^3\)，阿伏伽德罗常数 \(N_A=6.02\times10^{23}\text{ mol}^{-1}\)。求：（1）一个水分子的质量；（2）一个水分子的体积。
解答：
（1）一个水分子的质量：
\(m_0 = \frac{M}{N_A} = \frac{18\times10^{-3}}{6.02\times10^{23}} \approx 2.99\times10^{-26}\text{ kg}\)
（2）先求水的摩尔体积：\(V_m = \dfrac{M}{\rho} = \dfrac{18\times10^{-3}}{1.0\times10^3} = 1.8\times10^{-5}\text{ m}^3\text{/mol}\)
一个水分子的体积：
\(V_0 = \frac{V_m}{N_A} = \frac{1.8\times10^{-5}}{6.02\times10^{23}} \approx 2.99\times10^{-29}\text{ m}^3\)
【例题2】 一定质量的理想气体，温度升高，则下列说法正确的是（ ）
- 气体的内能一定增大
- 气体一定吸收热量
- 气体对外一定做功
- 气体的压强一定增大
解答：
理想气体不考虑分子势能，内能仅由温度决定。温度升高，分子平均动能增大，内能一定增大。故 A正确。
根据 \(\Delta U = W + Q\)，温度升高则 \(\Delta U > 0\)，但 \(W\) 和 \(Q\) 的正负不确定（可能吸热也可能外界做功），故B、C不一定正确。
压强由温度和体积共同决定，温度升高但体积也可能增大，压强不一定增大，故D不一定正确。
答案：A
1.7 练习题
下列关于布朗运动的说法正确的是（ ）
- 布朗运动就是液体分子的运动
- 布朗运动是液体分子无规则运动的反映
- 悬浮颗粒越大，布朗运动越明显
- 温度越低，布朗运动越剧烈
两个分子从相距很远处逐渐靠近到不能再靠近的过程中，分子力的变化情况是（ ）
- 一直增大
- 先增大后减小
- 先表现为引力且增大，后减小到零，再表现为斥力且增大
- 先减小后增大
一定质量的 \(0\text{°C}\) 的冰融化成 \(0\text{°C}\) 的水，下列说法正确的是（ ）
- 分子平均动能增大
- 分子势能增大
- 内能不变
- 分子平均动能减小
第二章 气体
2.1 气体的状态参量
描述气体状态的三个参量：温度、体积、压强。
2.1.1 温度
温度是气体分子平均动能的标志。
- 热力学温度 \(T\)（单位：K）与摄氏温度 \(t\)（单位：°C）的关系：\(T = t + 273.15\)
- 热力学温度的零度（0K）称为绝对零度，是低温的极限，不可达到
2.1.2 体积
气体的体积就是气体所充满容器的容积，用 \(V\) 表示，单位：\(\text{m}^3\)。
\(1\text{ L} = 1\times10^{-3}\text{ m}^3\)
2.1.3 压强
气体的压强是大量气体分子频繁碰撞器壁产生的，用 \(p\) 表示，单位：\(\text{Pa}\)（帕斯卡）。
\(1\text{ atm} = 1.013\times10^5\text{ Pa}\)
产生原因： 大量气体分子对器壁的频繁碰撞，在宏观上表现为持续的压力，单位面积上的压力即为压强。
2.2 气体实验定律
2.2.1 玻意耳定律（等温变化）
一定质量的气体，在温度不变时，压强与体积成反比。
\(p_1V_1 = p_2V_2 = \text{常量}\)
或 \(pV = C\)（\(C\) 为常量）
微观解释： 温度不变意味着分子平均动能不变（分子平均速率不变）。体积减小时，单位体积内分子数增多，单位时间内碰撞器壁的次数增多，压强增大。
p-V图像： 等温线是双曲线的一支（等温线），温度越高，等温线越远离原点。
2.2.2 查理定律（等容变化）
一定质量的气体，在体积不变时，压强与热力学温度成正比。
\(\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} = \text{常量}\)
微观解释： 体积不变意味着单位体积内分子数不变。温度升高时，分子平均动能增大，分子平均速率增大，碰撞器壁的力增大、频率增大，压强增大。
推论： 温度每升高（或降低）1°C，压强增大（或减小）为 \(0\text{°C}\) 时压强的 \(\dfrac{1}{273.15}\)。
\(p_t = p_0\left(1 + \frac{t}{273.15}\right)\)
2.2.3 盖-吕萨克定律（等压变化）
一定质量的气体，在压强不变时，体积与热力学温度成正比。
\(\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} = \text{常量}\)
微观解释： 压强不变，温度升高时分子平均动能增大、碰撞力增大，为了保持压强不变，必须增大体积以减小单位体积内的分子数。
2.3 理想气体状态方程
2.3.1 理想气体
理想气体是一种理想化模型，其特点：
- 分子本身的大小与分子间距离相比可以忽略不计
- 分子之间除碰撞外无相互作用力
- 分子之间以及分子与器壁之间的碰撞都是弹性碰撞
常温常压下的实际气体可近似看作理想气体。
2.3.2 理想气体状态方程
一定质量的理想气体，状态方程为：
\(\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}\)
或
\(pV = nRT\)
其中 \(n\) 为气体的物质的量，\(R = 8.314\text{ J/(mol·K)}\) 为普适气体常量。
克拉伯龙方程： \(pV = \dfrac{m}{M}RT\)，其中 \(m\) 为气体质量，\(M\) 为摩尔质量。
2.4 气体的微观解释
2.4.1 气体分子运动的特点
- 气体分子间的距离很大（约为分子直径的10倍以上），分子间作用力几乎为零
- 气体分子在不断地做无规则热运动
- 分子间的碰撞以及分子与器壁的碰撞是频繁的
- 分子沿各个方向运动的机会均等
2.4.2 气体压强的微观解释
气体压强的大小取决于两个因素：
- 分子的平均动能（与温度有关）——温度越高，分子撞击力越大
- 单位体积内的分子数（与气体密度有关）——密度越大，撞击次数越多
\(p \propto n_0 \cdot \overline{E_k}\)
其中 \(n_0\) 为单位体积内的分子数，\(\overline{E_k}\) 为分子平均动能。
2.5 知识点总结表
| 定律 | 条件 | 公式 | 微观解释 |
|---|---|---|---|
| 玻意耳定律 | 等温、一定质量 | \(p_1V_1=p_2V_2\) | 分子平均动能不变，体积↓→密度↑→压强↑ |
| 查理定律 | 等容、一定质量 | \(p_1/T_1=p_2/T_2\) | 密度不变，温度↑→动能↑→压强↑ |
| 盖-吕萨克定律 | 等压、一定质量 | \(V_1/T_1=V_2/T_2\) | 压强不变，温度↑→动能↑→体积↑ |
| 理想气体状态方程 | 一定质量 | \(p_1V_1/T_1=p_2V_2/T_2\) | 综合以上 |
2.6 典型例题
【例题3】 一个气缸内封闭着一定质量的气体，初始温度为 \(27\text{°C}\)，压强为 \(2\times10^5\text{ Pa}\)，体积为 \(2\text{ L}\)。若保持体积不变，将温度升高到 \(127\text{°C}\)，求气体的压强。
解答：
这是等容变化，使用查理定律。
\(T_1 = 27 + 273 = 300\text{ K}\)，\(T_2 = 127 + 273 = 400\text{ K}\)
\(\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}\)
\(p_2 = p_1 \cdot \frac{T_2}{T_1} = 2\times10^5 \times \frac{400}{300} \approx 2.67\times10^5\text{ Pa}\)
【例题4】 一端封闭的粗细均匀的玻璃管，管内有一段水银柱封闭着一段空气柱。当玻璃管开口向上竖直放置时，空气柱长 \(l_1 = 20\text{ cm}\)，水银柱高 \(h = 10\text{ cm}\)。已知大气压 \(p_0 = 76\text{ cmHg}\)。将玻璃管缓慢倒转使其开口向下竖直放置，求此时空气柱的长度。（设温度不变）
解答：
开口向上时，气体压强：\(p_1 = p_0 + h = 76 + 10 = 86\text{ cmHg}\)
设管的横截面积为 \(S\)，则气体体积：\(V_1 = l_1 \cdot S = 20S\)
开口向下时，气体压强：\(p_2 = p_0 - h = 76 - 10 = 66\text{ cmHg}\)
设空气柱长为 \(l_2\)，则 \(V_2 = l_2 \cdot S\)
由玻意耳定律 \(p_1V_1 = p_2V_2\)：
\(86 \times 20S = 66 \times l_2 \cdot S\)
\(l_2 = \frac{86 \times 20}{66} \approx 26.06\text{ cm}\)
【例题5】 一定质量的理想气体，从状态A（\(p_1\), \(V_1\), \(T_1\)）先等温膨胀到状态B（\(p_2\), \(V_2\), \(T_1\)），再等压压缩到状态C（\(p_2\), \(V_3\), \(T_2\)）。已知 \(V_2 = 2V_1\)，\(p_1 = 2p_2\)。求 \(T_2\) 与 \(T_1\) 的关系。
解答：
从A到B（等温）：\(p_1V_1 = p_2V_2\)
代入 \(V_2 = 2V_1\)，\(p_1 = 2p_2\)：\(2p_2 \cdot V_1 = p_2 \cdot 2V_1\) ✓ 验证正确。
从B到C（等压）：\(\dfrac{V_2}{T_1} = \dfrac{V_3}{T_2}\)
从A到C可以用状态方程：\(\dfrac{p_1V_1}{T_1} = \dfrac{p_2V_3}{T_2}\)
由等温过程 \(p_1V_1 = p_2V_2\)，所以 \(V_3 = V_1\)（回到初始体积），则：
\(T_2 = \frac{p_2V_3}{p_1V_1} \cdot T_1 = \frac{p_2 \cdot V_1}{2p_2 \cdot V_1} \cdot T_1 = \frac{T_1}{2}\)
即 \(T_2 = \dfrac{T_1}{2}\)。
2.7 练习题
一定质量的理想气体，保持温度不变，将其体积压缩为原来的一半，则气体的压强变为原来的（ ）
- 2倍 B. 1/2倍 C. 4倍 D. 1/4倍
一个容积为 \(10\text{ L}\) 的容器内装有压强为 \(1\times10^5\text{ Pa}\)、温度为 \(27\text{°C}\) 的气体。若将温度升高到 \(127\text{°C}\)，气体压强变为多大？（容积不变）
某气体在标准状态（\(0\text{°C}\)，\(1\text{ atm}\)）下的体积为 \(22.4\text{ L}\)，温度升高到 \(27\text{°C}\)、压强增大到 \(2\text{ atm}\) 时，其体积变为多少？
第三章 光学
3.1 光的折射
3.1.1 折射定律
光从一种介质射入另一种介质时，传播方向发生改变的现象称为折射。
折射定律（斯涅尔定律）：
\(n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2\)
其中 \(\theta_1\) 为入射角，\(\theta_2\) 为折射角，\(n_1\)、\(n_2\) 分别为两种介质的折射率。
3.1.2 折射率
折射率 \(n\) 是描述介质光学性质的物理量：
\(n = \frac{c}{v}\)
其中 \(c\) 为真空中的光速（\(c = 3\times10^8\text{ m/s}\)），\(v\) 为光在该介质中的传播速度。
- 真空的折射率 \(n = 1\)
- 空气的折射率 \(n \approx 1\)
- 水的折射率 \(n \approx 1.33\)
- 玻璃的折射率 \(n \approx 1.5 \sim 1.9\)
折射率越大，光在该介质中传播越慢。
3.1.3 全反射
全反射的条件：
- 光从光密介质射向光疏介质（\(n_1 > n_2\)）
- 入射角大于或等于临界角 \(C\)
临界角： 折射角为 \(90°\) 时对应的入射角。
\(\sin C = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1}{n}\)（从介质射向真空/空气时）
应用： 光导纤维（光纤）利用全反射原理传导光信号。
3.2 光的干涉
3.2.1 光的干涉条件
两列光波发生干涉的条件：
- 频率相同
- 相位差恒定
- 振动方向相同（或有相同分量）
满足这些条件的两个光源称为相干光源。
3.2.2 杨氏双缝干涉
实验装置： 单色光通过一个单缝后，再通过两个靠近的平行狭缝，在远处的屏幕上出现明暗相间的干涉条纹。
明条纹条件： 光程差为波长的整数倍
\(\delta = d\sin\theta = k\lambda \quad (k=0, \pm1, \pm2, \ldots)\)
暗条纹条件： 光程差为半波长的奇数倍
\(\delta = d\sin\theta = (2k+1)\frac{\lambda}{2} \quad (k=0, \pm1, \pm2, \ldots)\)
相邻明（或暗）条纹间距：
\(\Delta x = \frac{L\lambda}{d}\)
其中 \(L\) 为双缝到屏的距离，\(d\) 为双缝间距，\(\lambda\) 为光的波长。
结论：
- 条纹间距与波长成正比：波长越长，条纹越宽
- 红光的条纹间距大于紫光的条纹间距
- 用白光做实验，中央为白色亮条纹，两侧为彩色条纹
3.2.3 薄膜干涉
光照射到薄膜上时，从薄膜前表面和后表面分别反射的两列光波叠加产生的干涉现象。
应用： 检查光学平面的平整度（利用空气劈尖干涉）、增透膜和增反膜。
3.3 光的衍射
3.3.1 光的衍射现象
光绕过障碍物偏离直线传播的现象称为衍射。
发生明显衍射的条件： 障碍物或孔的尺寸与光的波长相当（或更小）。
3.3.2 单缝衍射
单色光通过单缝后，在屏幕上出现中央亮条纹两侧对称分布着明暗相间条纹的图样。
特点：
- 中央亮条纹最宽、最亮
- 两侧条纹亮度逐渐减弱
- 缝越窄，衍射现象越明显
- 波长越长，衍射现象越明显
3.4 光的偏振
3.4.1 自然光与偏振光
- 自然光： 在垂直于传播方向的平面内，光矢量沿各个方向振动的概率相等
- 偏振光： 光矢量只沿某一固定方向振动的光
3.4.2 偏振现象
光的偏振现象说明光是横波。
应用： 偏振片（偏光镜）、3D电影、液晶显示等。
3.5 光的色散与光谱
白光通过棱镜后分解为各种色光的现象称为色散。不同颜色的光在同一介质中折射率不同（频率越高，折射率越大），因此偏折角度不同。
光的颜色与频率、波长的关系：
| 颜色 | 波长范围（真空） | 频率 | 折射率 |
|---|---|---|---|
| 红 | 620~760 nm | 较小 | 较小 |
| 橙 | 590~620 nm | ↓ | ↓ |
| 黄 | 570~590 nm | ↓ | ↓ |
| 绿 | 495~570 nm | ↓ | ↓ |
| 蓝 | 450~495 nm | ↓ | ↓ |
| 紫 | 380~450 nm | 较大 | 较大 |
3.6 知识点总结表
| 知识点 | 核心内容 | 关键公式 |
|---|---|---|
| 折射定律 | \(n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2\) | 折射率 \(n=c/v\) |
| 全反射 | 光密→光疏，入射角≥临界角 | \(\sin C=1/n\) |
| 双缝干涉 | 明暗条纹间隔相等 | \(\Delta x=L\lambda/d\) |
| 单缝衍射 | 中央最宽最亮，两侧渐暗 | 缝越窄衍射越明显 |
| 偏振 | 证明光是横波 | 自然光→偏振光 |
| 色散 | 白光分解为彩色光 | 频率越高折射率越大 |
3.7 典型例题
【例题6】 一束光从水中射向空气，入射角为 \(45°\)。已知水的折射率 \(n = 1.33\)，\(\sin45° \approx 0.707\)。判断是否发生全反射。
解答：
先求水的临界角：
\(\sin C = \frac{1}{n} = \frac{1}{1.33} \approx 0.752\)
\(C \approx 48.8°\)
入射角 \(45° < C = 48.8°\)，所以不会发生全反射，光会折射进入空气。
【例题7】 在杨氏双缝干涉实验中，双缝间距 \(d = 0.5\text{ mm}\)，双缝到屏的距离 \(L = 1\text{ m}\)，用波长 \(\lambda = 600\text{ nm}\) 的红光做实验。求相邻明条纹的间距。
解答：
\(\Delta x = \frac{L\lambda}{d} = \frac{1 \times 600\times10^{-9}}{0.5\times10^{-3}} = \frac{6\times10^{-7}}{5\times10^{-4}} = 1.2\times10^{-3}\text{ m} = 1.2\text{ mm}\)
3.8 练习题
光从空气射入玻璃，入射角为 \(60°\)，折射角为 \(35°\)。求玻璃的折射率。（\(\sin60°=0.866\)，\(\sin35°=0.574\)）
在杨氏双缝干涉实验中，若将入射光由红光换成紫光，干涉条纹间距将如何变化？
下列现象中，属于光的衍射现象的是（ ）
- 雨后彩虹
- 水面上的油膜呈彩色
- 阳光下小孔成像的边缘模糊
- 用三棱镜观察白光的色散
第四章 原子物理
4.1 原子的核式结构模型
4.1.1 电子的发现
汤姆孙通过阴极射线实验发现了电子（1897年），说明原子是可分的。
4.1.2 α粒子散射实验
卢瑟福进行了α粒子散射实验（1909年）：
实验现象：
- 绝大多数α粒子穿过金箔后沿原方向前进（偏转角很小）
- 少数α粒子发生了较大角度的偏转
- 极少数α粒子的偏转角超过 \(90°\)
- 个别α粒子几乎被弹回（偏转角接近 \(180°\)）
**汤姆孙的"枣糕模型"**无法解释大角度散射现象。
4.1.3 核式结构模型
卢瑟福于1911年提出了原子的核式结构模型：
- 原子的中心有一个很小的原子核，集中了原子的全部正电荷和几乎全部质量
- 电子在核外空间绕核运动
- 原子核的半径约为 \(10^{-15}\text{ m}\)，原子的半径约为 \(10^{-10}\text{ m}\)
4.2 玻尔的原子模型
4.2.1 经典理论的困难
按照经典电磁理论，绕核运动的电子会辐射电磁波，能量逐渐减小，轨道半径逐渐缩小，最终坠入原子核——这与原子的稳定性矛盾。
4.2.2 玻尔模型的三个假设
（1）定态假设： 原子只能处于一系列不连续的能量状态中，在这些状态中原子是稳定的，电子虽然做加速运动但不辐射能量。这些状态称为定态。
（2）跃迁假设： 原子从一个定态（能量 \(E_m\)）跃迁到另一个定态（能量 \(E_n\)）时，辐射或吸收一定频率的光子，光子的频率满足：
\(h\nu = E_m - E_n\)
其中 \(h = 6.626\times10^{-34}\text{ J·s}\) 为普朗克常量。
- \(E_m > E_n\)：放出光子（从高能级跃迁到低能级）
- \(E_m < E_n\)：吸收光子（从低能级跃迁到高能级）
（3）轨道量子化假设： 电子的轨道是不连续的，只有满足 \(mvr = n\dfrac{h}{2\pi}\)（\(n=1,2,3,\ldots\)）的轨道才是可能的。
4.2.3 氢原子的能级
氢原子的能级公式：
\(E_n = \frac{E_1}{n^2} \quad (n=1,2,3,\ldots)\)
其中 \(E_1 = -13.6\text{ eV}\)（基态能量），\(n\) 为量子数。
各能级能量：
| 量子数 \(n\) | 能量 \(E_n\)（eV） | 名称 |
|---|---|---|
| 1 | -13.6 | 基态 |
| 2 | -3.4 | 第一激发态 |
| 3 | -1.51 | 第二激发态 |
| 4 | -0.85 | 第三激发态 |
| \(\infty\) | 0 | 电离态 |
电离能： 将电子从基态激发到无穷远（\(n=\infty\)）所需的能量为 \(13.6\text{ eV}\)。
4.2.4 氢原子光谱
光谱线系：
氢原子从高能级跃迁到 \(n=1\)（基态）发出的光谱线组成莱曼系（紫外区）；跃迁到 \(n=2\) 组成巴耳末系（可见光区）；跃迁到 \(n=3\) 组成帕邢系（红外区）等。
巴耳末系公式：
\(\frac{1}{\lambda} = R\left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2}\right) \quad (n=3,4,5,\ldots)\)
其中 \(R = 1.097\times10^7\text{ m}^{-1}\) 为里德伯常量。
4.3 知识点总结表
| 知识点 | 核心内容 | 关键人物/公式 |
|---|---|---|
| 电子的发现 | 原子可分 | 汤姆孙 |
| α粒子散射实验 | 极少数大角度偏转 | 卢瑟福 |
| 核式结构模型 | 原子核集中全部正电荷和几乎全部质量 | 卢瑟福 |
| 玻尔模型三假设 | 定态、跃迁、轨道量子化 | \(h\nu=E_m-E_n\) |
| 氢原子能级 | \(E_n=E_1/n^2\)，\(E_1=-13.6\text{ eV}\) | 量子数 \(n=1,2,3,\ldots\) |
| 光谱线系 | 不同能级跃迁产生不同系列 | 巴耳末系（可见光） |
4.4 典型例题
【例题8】 氢原子从 \(n=3\) 能级跃迁到 \(n=2\) 能级时，辐射出的光子的波长是多少？（已知 \(E_3=-1.51\text{ eV}\)，\(E_2=-3.4\text{ eV}\)，\(h=6.626\times10^{-34}\text{ J·s}\)，\(c=3\times10^8\text{ m/s}\)，\(1\text{ eV}=1.6\times10^{-19}\text{ J}\)）
解答：
\(E = E_3 - E_2 = -1.51 - (-3.4) = 1.89\text{ eV}\)
\(E = 1.89 \times 1.6\times10^{-19} = 3.024\times10^{-19}\text{ J}\)
\(\lambda = \frac{hc}{E} = \frac{6.626\times10^{-34} \times 3\times10^8}{3.024\times10^{-19}} = \frac{1.988\times10^{-25}}{3.024\times10^{-19}} \approx 6.58\times10^{-7}\text{ m} = 658\text{ nm}\)
此为红光，属于巴耳末系（从 \(n=3\) 跃迁到 \(n=2\)）。
【例题9】 处于基态的氢原子，吸收一个能量为 \(12.09\text{ eV}\) 的光子后，能跃迁到第几能级？
解答：
\(E_n = E_1 + 12.09 = -13.6 + 12.09 = -1.51\text{ eV}\)
对照能级表，\(-1.51\text{ eV}\) 对应 \(n=3\) 的能级。
因此氢原子跃迁到 \(n=3\) 的能级（第二激发态）。
4.5 练习题
卢瑟福α粒子散射实验的结果表明（ ）
- 原子是实心球体
- 原子的正电荷均匀分布在整个原子内
- 原子的全部正电荷和几乎全部质量集中在很小的原子核内
- 电子在原子核外做圆周运动
氢原子从 \(n=4\) 能级跃迁到 \(n=2\) 能级时，辐射的光子属于（ ）
- 莱曼系 B. 巴耳末系 C. 帕邢系 D. 不属于任何系列
大量氢原子处于 \(n=3\) 的激发态，当它们自发跃迁时，最多能发出几种不同频率的光子？
第五章 核物理
5.1 原子核的组成
5.1.1 质子的发现
卢瑟福用α粒子轰击氮原子核，发现了质子（1919年）。
\[
#### 5.1.2 中子的发现
**查德威克**发现了**中子**（1932年）。
$${}^{9}_{4}\text{Be} + {}^{4}_{2}\text{He} \to {}^{12}_{6}\text{C} + {}^{1}_{0}\text{n}$$
#### 5.1.3 原子核的组成
原子核由**质子**和**中子**组成，质子和中子统称为**核子**。
- **质子数**（原子序数）$Z$：决定元素的种类
- **中子数** $N$
- **质量数** $A = Z + N$
**核素的表示：** ${}^{A}_{Z}\text{X}$，其中X为元素符号，$A$ 为质量数，$Z$ 为质子数。
**同位素：** 质子数相同、中子数不同的原子互称同位素。例如 ${}^{1}_{1}\text{H}$、${}^{2}_{1}\text{H}$（氘）、${}^{3}_{1}\text{H}$（氚）是氢的三种同位素。
---
### 5.2 放射性与放射性衰变
#### 5.2.1 天然放射性现象
**贝克勒尔**发现了铀的天然放射性（1896年）。放射性元素自发地放出射线的现象称为**天然放射性**。
三种射线的比较：
| 射线 | 本质 | 电荷 | 质量 | 穿透能力 | 电离能力 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| α射线 | 氦核 ${}^{4}_{2}\text{He}$ | +2e | 4u | 最弱（纸可挡住） | 最强 |
| β射线 | 电子 ${}^{0}_{-1}\text{e}$ | -e | 约0 | 较强（铝板可挡住） | 较弱 |
| γ射线 | 光子（高频电磁波） | 0 | 0 | 最强（铅板可挡住） | 最弱 |
#### 5.2.2 α衰变
原子核放出α粒子（氦核）的衰变。
$${}^{A}_{Z}\text{X} \to {}^{A-4}_{Z-2}\text{Y} + {}^{4}_{2}\text{He}$$
**特点：** 质量数减少4，电荷数减少2。
**示例：** ${}^{238}_{92}\text{U} \to {}^{234}_{90}\text{Th} + {}^{4}_{2}\text{He}$
#### 5.2.3 β衰变
原子核放出电子的衰变。本质上是核内的一个中子转变为质子并放出电子和反中微子。
$${}^{A}_{Z}\text{X} \to {}^{A}_{Z+1}\text{Y} + {}^{0}_{-1}\text{e}$$
**特点：** 质量数不变，电荷数增加1。
**示例：** ${}^{234}_{90}\text{Th} \to {}^{234}_{91}\text{Pa} + {}^{0}_{-1}\text{e}$
#### 5.2.4 γ衰变
原子核从高能态跃迁到低能态时放出γ光子。γ衰变不改变原子核的质量数和电荷数。
#### 5.2.5 半衰期
**半衰期** $T_{1/2}$ 是放射性元素的原子核有半数发生衰变所需的时间。
$$N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$$
$$m = m_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$$
**要点：**
- 半衰期由原子核本身的性质决定，与外界条件（温度、压强、化学状态等）无关
- 半衰期是统计规律，对大量原子核有意义，对少量原子核只能做概率描述
- 不同放射性元素的半衰期差异很大（从微秒到数十亿年）
---
### 5.3 核反应方程与核反应类型
#### 5.3.1 核反应方程遵循的规律
1. **质量数守恒**：反应前后质量数之和相等
2. **电荷数守恒**：反应前后电荷数之和相等
#### 5.3.2 四种核反应类型
| 类型 | 描述 | 示例 |
|:---|:---|:---|
| **衰变** | 原子核自发地放出粒子 | ${}^{238}_{92}\text{U}\to{}^{234}_{90}\text{Th}+{}^{4}_{2}\text{He}$ |
| **人工转变** | 用粒子轰击原子核 | ${}^{14}_{7}\text{N}+{}^{4}_{2}\text{He}\to{}^{17}_{8}\text{O}+{}^{1}_{1}\text{H}$ |
| **裂变** | 重核分裂成中等质量的核 | ${}^{235}_{92}\text{U}+{}^{1}_{0}\text{n}\to{}^{141}_{56}\text{Ba}+{}^{92}_{36}\text{Kr}+3{}^{1}_{0}\text{n}$ |
| **聚变** | 轻核结合成较重的核 | ${}^{2}_{1}\text{H}+{}^{3}_{1}\text{H}\to{}^{4}_{2}\text{He}+{}^{1}_{0}\text{n}$ |
---
### 5.4 质量亏损与核能
#### 5.4.1 质量亏损
原子核的质量总是小于组成它的核子的质量之和，这个差值称为**质量亏损** $\Delta m$。
$$\Delta m = Zm_p + (A-Z)m_n - m_{\text{核}}$$
#### 5.4.2 爱因斯坦质能方程
$$E = mc^2$$
**核能：**
$$\Delta E = \Delta m \cdot c^2$$
其中 $\Delta m$ 为质量亏损（单位：kg），$c = 3\times10^8\text{ m/s}$。
**实用公式：** 当 $\Delta m$ 以原子质量单位（u）为单位时，
$$\Delta E = \Delta m \times 931.5\text{ MeV}$$
（因为 $1\text{ u} = 1.6605\times10^{-27}\text{ kg}$，$1\text{ u}\cdot c^2 = 931.5\text{ MeV}$）
#### 5.4.3 重核裂变
**裂变**是重原子核（如铀-235）俘获一个中子后分裂成两个（或多个）中等质量的原子核，同时放出若干个中子和大量能量的过程。
**链式反应：** 裂变产生的中子再引发其他铀核裂变，使反应持续进行。
**应用：** 核反应堆、原子弹。
**临界体积：** 能够发生链式反应的最小铀块体积。
#### 5.4.4 轻核聚变
**聚变**是两个轻核结合成一个较重的原子核，同时放出大量能量的过程。
**条件：** 需要极高的温度（约 $10^7 \sim 10^8\text{ K}$），使原子核具有足够的动能以克服库仑斥力。因此聚变也称为**热核反应**。
**应用：** 氢弹、太阳等恒星的能量来源。
**聚变比裂变单位质量释放的能量更大。**
---
### 5.5 知识点总结表
| 知识点 | 核心内容 | 关键公式/概念 |
|:---|:---|:---|
| 原子核组成 | 质子+中子=核子 | $A=Z+N$ |
| α衰变 | 放出 ${}^{4}_{2}\text{He}$ | $A$减4，$Z$减2 |
| β衰变 | 放出电子 | $A$不变，$Z$加1 |
| 半衰期 | 半数原子核衰变的时间 | $N=N_0(1/2)^{t/T_{1/2}}$ |
| 质量亏损 | 核子质量之和减去核质量 | $\Delta m$ |
| 质能方程 | $E=mc^2$ | $\Delta E=\Delta mc^2$ |
| 裂变 | 重核分裂 | 链式反应 |
| 聚变 | 轻核结合 | 需要极高温度 |
---
### 5.6 典型例题
**【例题10】** 完成以下核反应方程，并指出属于哪种核反应类型：
${}^{226}_{88}\text{Ra} \to {}^{222}_{86}\text{Rn} + {}^{?}_{?}\text{?}$
**解答：**
质量数守恒：$226 = 222 + A$，得 $A = 4$
电荷数守恒：$88 = 86 + Z$，得 $Z = 2$
所以放出的是 ${}^{4}_{2}\text{He}$（α粒子），属于**α衰变**。
$${}^{226}_{88}\text{Ra} \to {}^{222}_{86}\text{Rn} + {}^{4}_{2}\text{He}$$
**【例题11】** 一个铀-235原子核裂变时质量亏损 $\Delta m = 0.2153\text{ u}$，求释放的能量。
**解答：**
$$\Delta E = \Delta m \times 931.5\text{ MeV} = 0.2153 \times 931.5 \approx 200.6\text{ MeV}$$
即每个铀-235裂变约释放 $200\text{ MeV}$ 的能量。
**【例题12】** 某放射性元素的半衰期为 $5\text{ 天}$，现有 $8\text{ g}$ 该元素，经过 $20\text{ 天}$ 后还剩多少？
**解答：**
经过的半衰期个数：$n = \dfrac{20}{5} = 4$
$$m = m_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n = 8 \times \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 8 \times \frac{1}{16} = 0.5\text{ g}$$
---
### 5.7 练习题
13. 关于半衰期，下列说法正确的是（ ）
A. 半衰期随温度升高而缩短
B. 半衰期随压强增大而缩短
C. 半衰期由原子核本身性质决定，与外界条件无关
D. 对少量原子核也可以精确预测其半衰期
14. 完成核反应方程：${}^{14}_{7}\text{N} + {}^{1}_{0}\text{n} \to {}^{14}_{6}\text{C} + $______
15. 氘核（${}^{2}_{1}\text{H}$）和氚核（${}^{3}_{1}\text{H}$）聚变成氦核（${}^{4}_{2}\text{He}$）时，质量亏损为 $0.01888\text{ u}$。求释放的能量。（$1\text{ u} = 931.5\text{ MeV}$）
---
## 综合练习与参考答案
### 综合练习（共20题）
#### 一、选择题（每题4分）
1. 下列关于分子动理论的说法正确的是（ ）
A. 布朗运动是液体分子的运动
B. 分子间的引力和斥力不能同时存在
C. 分子间距为 $r_0$ 时，分子势能最小
D. 温度高的物体内能一定大
2. 一定质量的理想气体，等温压缩后，下列物理量中增大的是（ ）
A. 分子平均动能 B. 分子平均速率 C. 气体压强 D. 气体体积
3. 关于全反射，下列说法正确的是（ ）
A. 光从光疏介质射向光密介质时可能发生全反射
B. 光从光密介质射向光疏介质时，入射角大于临界角时发生全反射
C. 全反射时没有反射光
D. 全反射时不遵循反射定律
4. 杨氏双缝干涉实验中，若增大双缝间距 $d$（其他条件不变），则干涉条纹间距（ ）
A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 先增大后减小
5. 卢瑟福α粒子散射实验中，使少数α粒子发生大角度偏转的原因是（ ）
A. α粒子与电子碰撞
B. α粒子受到原子核的库仑斥力
C. α粒子受到原子核的万有引力
D. α粒子受到原子核的核力
6. 氢原子从 $n=4$ 的能级跃迁到 $n=1$ 的能级时，辐射的光子能量为（ ）
A. $12.75\text{ eV}$ B. $13.6\text{ eV}$ C. $0.85\text{ eV}$ D. $12.09\text{ eV}$
7. 关于β衰变，下列说法正确的是（ ）
A. β射线是核外电子
B. β衰变中质量数减少
C. β衰变的本质是核内中子转变为质子和电子
D. β衰变中电荷数减少
8. 下列核反应中，属于聚变的是（ ）
A. ${}^{238}_{92}\text{U}\to{}^{234}_{90}\text{Th}+{}^{4}_{2}\text{He}$
B. ${}^{235}_{92}\text{U}+{}^{1}_{0}\text{n}\to{}^{141}_{56}\text{Ba}+{}^{92}_{36}\text{Kr}+3{}^{1}_{0}\text{n}$
C. ${}^{2}_{1}\text{H}+{}^{3}_{1}\text{H}\to{}^{4}_{2}\text{He}+{}^{1}_{0}\text{n}$
D. ${}^{14}_{7}\text{N}+{}^{4}_{2}\text{He}\to{}^{17}_{8}\text{O}+{}^{1}_{1}\text{H}$
9. 一束单色光从空气射入水中，下列说法正确的是（ ）
A. 频率不变，波长变长
B. 频率不变，波长变短
C. 频率变大，波长不变
D. 频率变小，波长变长
10. 关于光的偏振，下列说法正确的是（ ）
A. 偏振现象说明光是纵波
B. 自然光通过偏振片后变为偏振光
C. 偏振光不能再通过偏振片
D. 偏振现象只发生在光反射时
#### 二、填空题（每题4分）
11. 阿伏伽德罗常数 $N_A = $______ $\text{mol}^{-1}$，它表示的物理意义是______。
12. 一定质量的理想气体，温度从 $27\text{°C}$ 升高到 $127\text{°C}$，若体积不变，则压强变为原来的______倍。
13. 水的折射率 $n = 1.33$，光在水中的传播速度为______$\text{m/s}$，水的临界角约为______°。
14. 氢原子基态能量 $E_1 = -13.6\text{ eV}$，$n=2$ 的能级能量为______eV，从 $n=2$ 跃迁到 $n=1$ 发出的光子能量为______eV。
15. ${}^{238}_{92}\text{U}$ 经过一次α衰变后，新核的质量数为______，电荷数为______。
#### 三、计算题（每题10分）
16. 一个氧气分子的质量约为 $5.31\times10^{-26}\text{ kg}$，求氧气的摩尔质量。（$N_A = 6.02\times10^{23}\text{ mol}^{-1}$）
17. 一定质量的理想气体，初始状态为 $p_1 = 1\times10^5\text{ Pa}$，$V_1 = 3\text{ L}$，$T_1 = 300\text{ K}$。先等压膨胀到 $V_2 = 6\text{ L}$，再等容降温使压强回到 $p_1$。求最终温度 $T_3$。
18. 在杨氏双缝干涉实验中，双缝间距 $d = 0.3\text{ mm}$，屏到双缝距离 $L = 1.5\text{ m}$，测得相邻明条纹间距 $\Delta x = 3\text{ mm}$。求所用光的波长。
19. 氢原子从 $n=5$ 能级跃迁到 $n=2$ 能级，发出的光子的波长是多少？（已知 $E_5=-0.544\text{ eV}$，$E_2=-3.4\text{ eV}$，$h=6.626\times10^{-34}\text{ J·s}$，$c=3\times10^8\text{ m/s}$，$1\text{ eV}=1.6\times10^{-19}\text{ J}$）
20. 钚-239的α衰变方程为 ${}^{239}_{94}\text{Pu}\to{}^{235}_{92}\text{U}+{}^{4}_{2}\text{He}$。已知钚-239的质量为 $239.0522\text{ u}$，铀-235的质量为 $235.0439\text{ u}$，氦-4的质量为 $4.0026\text{ u}$。（1）求质量亏损；（2）求释放的核能。（$1\text{ u} = 931.5\text{ MeV}$）
---
### 参考答案
#### 练习题答案
1. **B**（布朗运动是固体颗粒的运动，不是分子运动；温度高内能不一定大，还与质量有关；分子力引力斥力同时存在）
2. **C**（从很远处靠近到 $r_0$，分子力先为引力且增大，到 $r_0$ 时合力为零，继续靠近变为斥力且增大）
3. **B**（$0\text{°C}$ 冰融化为 $0\text{°C}$ 水，温度不变，分子平均动能不变；但需要吸热，内能增大，增大的是分子势能）
4. **A**（玻意耳定律：$p_1V_1=p_2V_2$，体积减半，压强加倍）
5. **$1.33\times10^5\text{ Pa}$**（查理定律：$p_2=p_1\times T_2/T_1=1\times10^5\times400/300$）
6. **$12.4\text{ L}$**（$\dfrac{p_1V_1}{T_1}=\dfrac{p_2V_2}{T_2}$，$V_2=\dfrac{p_1V_1T_2}{p_2T_1}=\dfrac{1\times22.4\times300}{2\times273}\approx12.4\text{ L}$）
7. **$n\approx1.51$**（$n=\sin\theta_1/\sin\theta_2=\sin60°/\sin35°=0.866/0.574\approx1.51$）
8. **条纹间距减小**（紫光波长比红光短，$\Delta x=L\lambda/d$，波长减小则条纹间距减小）
9. **C**（小孔边缘模糊是衍射现象；A是色散/折射，B是薄膜干涉，D是色散）
10. **C**（卢瑟福核式结构模型）
11. **B**（从 $n=4$ 跃迁到 $n=2$，属于巴耳末系）
12. **3种**（$n=3$ 跃迁到 $n=2$，$n=3$ 跃迁到 $n=1$，$n=2$ 跃迁到 $n=1$，共 $C_3^2=3$ 种）
13. **C**（半衰期由原子核本身性质决定）
14. **${}^{1}_{1}\text{H}$**（质量数：$14+1=14+A$，$A=1$；电荷数：$7+0=6+Z$，$Z=1$）
15. **$17.6\text{ MeV}$**（$\Delta E=0.01888\times931.5\approx17.6\text{ MeV}$）
#### 综合练习答案
**选择题：**
1. C 2. C 3. B 4. B 5. B 6. A 7. C 8. C 9. B 10. B
**填空题：**
11. $6.02\times10^{23}$；1摩尔任何物质中含有的分子（或原子）数为 $6.02\times10^{23}$ 个。
12. $\dfrac{4}{3}$ 倍。（$T_1=300\text{ K}$，$T_2=400\text{ K}$，等容变化 $p_2=p_1\times T_2/T_1=4p_1/3$）
13. $2.26\times10^8\text{ m/s}$（$v=c/n=3\times10^8/1.33$）；约 $48.8°$（$\sin C=1/n=1/1.33$，$C\approx48.8°$）。
14. $-3.4\text{ eV}$；$10.2\text{ eV}$。
15. $234$；$90$。
**计算题：**
16. $M = m_0 \times N_A = 5.31\times10^{-26} \times 6.02\times10^{23} \approx 32\times10^{-3}\text{ kg/mol} = 32\text{ g/mol}$
17. 等压过程：$\dfrac{V_1}{T_1}=\dfrac{V_2}{T_2}$，$T_2=T_1\times\dfrac{V_2}{V_1}=300\times\dfrac{6}{3}=600\text{ K}$
等容过程：$\dfrac{p_2}{T_2}=\dfrac{p_3}{T_3}$，$p_2=p_1$（等压），$p_3=p_1$，所以 $T_3=T_2=600\text{ K}$
**更正：** 等压膨胀后 $p_2=p_1$，$T_2=600\text{ K}$。等容降温到压强回到 $p_1$，此时压强已经是 $p_1$，所以 $T_3=600\text{ K}$。
实际上需要重新审视：等压膨胀到 $V_2=6\text{ L}$，$T_2=600\text{ K}$，$p_2=p_1=1\times10^5\text{ Pa}$。然后等容降温使压强"回到" $p_1$，但压强本来就是 $p_1$，所以 $T_3=600\text{ K}$。
**注意：** 题目可能意为先等压膨胀后，再等容降温使压强变为某个新值。按照题意，最终温度 $T_3 = 600\text{ K}$。
18. $\Delta x = \dfrac{L\lambda}{d}$，$\lambda = \dfrac{\Delta x \cdot d}{L} = \dfrac{3\times10^{-3} \times 0.3\times10^{-3}}{1.5} = \dfrac{9\times10^{-7}}{1.5} = 6\times10^{-7}\text{ m} = 600\text{ nm}$
19. $E = E_5 - E_2 = -0.544 - (-3.4) = 2.856\text{ eV} = 2.856\times1.6\times10^{-19} = 4.57\times10^{-19}\text{ J}$
$\lambda = \dfrac{hc}{E} = \dfrac{6.626\times10^{-34}\times3\times10^8}{4.57\times10^{-19}} = \dfrac{1.988\times10^{-25}}{4.57\times10^{-19}} \approx 4.35\times10^{-7}\text{ m} = 435\text{ nm}$（蓝紫色光，属于巴耳末系）
20. （1）$\Delta m = (239.0522) - (235.0439 + 4.0026) = 239.0522 - 239.0465 = 0.0057\text{ u}$
（2）$\Delta E = 0.0057 \times 931.5 \approx 5.31\text{ MeV}$
---
> **学习建议：** 本教程涵盖了热学和近代物理的核心内容。学习时应注重理解基本概念和物理模型，多做练习题巩固知识。对于公式，不仅要记住，更要理解其物理意义和适用条件。核物理部分要注意质量数守恒和电荷数守恒在核反应方程中的应用。
\]
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