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内容简介
系统讲解高二上册数学核心内容，涵盖圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）、导数的概念与运算、导数的应用等高考重难点。
高二数学上册教程——圆锥曲线与导数
适用年级：高二上册 | 科目：数学
本教程系统讲解高二上册数学核心内容，涵盖圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）、导数的概念与运算、导数的应用等高考重难点。
目录
第一章 圆锥曲线
圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，也是高考的必考重点。圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种曲线，它们都可以用平面截取圆锥面得到，因此统称为圆锥曲线。
本章将逐一讲解三种曲线的定义、标准方程、几何性质及典型应用。
1.1 椭圆
1.1.1 椭圆的定义
定义：平面内与两个定点 \(F_1\)、\(F_2\) 的距离之和等于常数 \(2a\)（\(2a > |F_1F_2|\)）的点的轨迹叫做椭圆。
其中，两个定点 \(F_1\)、\(F_2\) 叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离 \(|F_1F_2| = 2c\) 叫做焦距。
关键条件：\(2a > 2c\)，即 \(a > c > 0\)。若 \(2a = 2c\)，轨迹为线段 \(F_1F_2\)；若 \(2a < 2c\)，轨迹不存在。
1.1.2 椭圆的标准方程
建立坐标系，取 \(F_1(-c, 0)\)、\(F_2(c, 0)\) 为焦点，设椭圆上任意一点 \(P(x, y)\)，由定义：
\(|PF_1| + |PF_2| = 2a\)
经过化简（两边平方、整理），令 \(b^2 = a^2 - c^2\)（其中 \(b > 0\)），可得椭圆的标准方程：
焦点在 \(x\) 轴上：
\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0)\)
焦点在 \(y\) 轴上：
\(\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \quad (a > b > 0)\)
三个参数的关系：\(a^2 = b^2 + c^2\)，其中 \(a\) 为半长轴，\(b\) 为半短轴，\(c\) 为半焦距。
1.1.3 椭圆的几何性质
以焦点在 \(x\) 轴上的椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) 为例：
| 性质 | 具体内容 |
|---|---|
| 范围 | \(-a \leqslant x \leqslant a\)，\(-b \leqslant y \leqslant b\) |
| 对称性 | 关于 \(x\) 轴、\(y\) 轴、原点对称 |
| 顶点 | \((\pm a, 0)\)，\((0, \pm b)\) |
| 焦点 | \((\pm c, 0)\)，其中 \(c = \sqrt{a^2 - b^2}\) |
| 离心率 | \(e = \frac{c}{a}\)，\(0 < e < 1\)。\(e\) 越接近 \(0\)，椭圆越接近圆；\(e\) 越接近 \(1\)，椭圆越扁 |
| 准线 | \(x = \pm \frac{a^2}{c}\)（焦点在 \(x\) 轴时） |
1.1.4 典型例题
例1：已知椭圆的焦点为 \(F_1(-3, 0)\) 和 \(F_2(3, 0)\)，且经过点 \((5, 0)\)，求椭圆的标准方程。
解：
由焦点坐标知 \(c = 3\)，椭圆焦点在 \(x\) 轴上。
椭圆经过点 \((5, 0)\)，该点在 \(x\) 轴上，说明 \(a = 5\)（因为顶点为 \((\pm a, 0)\)）。
由 \(b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 9 = 16\)，得 \(b = 4\)。
所以椭圆的标准方程为：
\(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\)
例2：已知椭圆 \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\)，求其离心率和焦点坐标。
解：
由方程知 \(a^2 = 16\)，\(b^2 = 9\)，故 \(a = 4\)，\(b = 3\)。
\(c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}\)
离心率 \(e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{7}}{4}\)
焦点坐标为 \((\pm \sqrt{7}, 0)\)。
1.2 双曲线
1.2.1 双曲线的定义
定义：平面内与两个定点 \(F_1\)、\(F_2\) 的距离之差的绝对值等于常数 \(2a\)（\(0 < 2a < |F_1F_2|\)）的点的轨迹叫做双曲线。
两个定点 \(F_1\)、\(F_2\) 叫做双曲线的焦点，\(|F_1F_2| = 2c\) 叫做焦距。
关键条件：\(0 < 2a < 2c\)，即 \(0 < a < c\)。若 \(2a = 2c\)，轨迹为两条射线；若 \(2a > 2c\)，轨迹不存在。
1.2.2 双曲线的标准方程
设 \(F_1(-c, 0)\)、\(F_2(c, 0)\)，由 \(||PF_1| - |PF_2|| = 2a\)，令 \(b^2 = c^2 - a^2\)（\(b > 0\)），化简得：
焦点在 \(x\) 轴上：
\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > 0, b > 0)\)
焦点在 \(y\) 轴上：
\(\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1 \quad (a > 0, b > 0)\)
三个参数的关系：\(c^2 = a^2 + b^2\)。注意与椭圆的区别：椭圆中 \(a\) 最大，双曲线中 \(c\) 最大。
1.2.3 双曲线的几何性质
以焦点在 \(x\) 轴上的双曲线 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) 为例：
| 性质 | 具体内容 |
|---|---|
| 范围 | \(x \geqslant a\) 或 \(x \leqslant -a\)（即 \(|x| \geqslant a\)） |
| 对称性 | 关于 \(x\) 轴、\(y\) 轴、原点对称 |
| 顶点 | \((\pm a, 0)\) |
| 焦点 | \((\pm c, 0)\)，其中 \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\) |
| 渐近线 | \(y = \pm \frac{b}{a}x\) |
| 离心率 | \(e = \frac{c}{a}\)，\(e > 1\)。\(e\) 越大，双曲线开口越大 |
| 准线 | \(x = \pm \frac{a^2}{c}\) |
特别注意：等轴双曲线（\(a = b\)）的渐近线为 \(y = \pm x\)，两条渐近线互相垂直，离心率 \(e = \sqrt{2}\)。
1.2.4 典型例题
例3：已知双曲线的焦点为 \((\pm 5, 0)\)，实轴长为 \(6\)，求双曲线的标准方程。
解：
由焦点坐标知 \(c = 5\)，焦点在 \(x\) 轴上。
实轴长 \(2a = 6\)，故 \(a = 3\)。
\(b^2 = c^2 - a^2 = 25 - 9 = 16\)，\(b = 4\)。
双曲线的标准方程为：
\(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\)
例4：求双曲线 \(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1\) 的渐近线方程和离心率。
解：
\(a^2 = 4\)，\(b^2 = 12\)，故 \(a = 2\)，\(b = 2\sqrt{3}\)。
渐近线方程：\(y = \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{2\sqrt{3}}{2}x = \pm \sqrt{3}x\)
\(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4 + 12} = 4\)
离心率 \(e = \frac{c}{a} = \frac{4}{2} = 2\)
1.3 抛物线
1.3.1 抛物线的定义
定义：平面内与一个定点 \(F\) 和一条定直线 \(l\)（\(F\) 不在 \(l\) 上）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
定点 \(F\) 叫做抛物线的焦点，定直线 \(l\) 叫做抛物线的准线。
1.3.2 抛物线的标准方程
设焦点到准线的距离为 \(p\)（\(p > 0\)），则抛物线有四种标准形式：
| 方程 | 焦点 | 准线 | 开口方向 |
|---|---|---|---|
| \(y^2 = 2px\) | \((\frac{p}{2}, 0)\) | \(x = -\frac{p}{2}\) | 向右 |
| \(y^2 = -2px\) | \((-\frac{p}{2}, 0)\) | \(x = \frac{p}{2}\) | 向左 |
| \(x^2 = 2py\) | \((0, \frac{p}{2})\) | \(y = -\frac{p}{2}\) | 向上 |
| \(x^2 = -2py\) | \((0, -\frac{p}{2})\) | \(y = \frac{p}{2}\) | 向下 |
记忆技巧：方程右边为正时，抛物线向正方向开口。例如 \(y^2 = 2px\)（\(p > 0\)）中 \(y^2\) 恒非负，故 \(2px \geqslant 0\)，即 \(x \geqslant 0\)，开口向右。
1.3.3 抛物线的几何性质
以 \(y^2 = 2px\)（\(p > 0\)）为例：
| 性质 | 具体内容 |
|---|---|
| 范围 | \(x \geqslant 0\)，\(y \in \mathbb{R}\) |
| 对称性 | 关于 \(x\) 轴对称 |
| 顶点 | 原点 \((0, 0)\) |
| 焦点 | \((\frac{p}{2}, 0)\) |
| 准线 | \(x = -\frac{p}{2}\) |
| 离心率 | \(e = 1\)（所有抛物线的离心率均为 \(1\)） |
| 焦点弦长 | 过焦点弦长 \(|AB| = x_1 + x_2 + p\) |
1.3.4 典型例题
例5：求抛物线 \(y^2 = 8x\) 的焦点坐标和准线方程。
解：
由 \(y^2 = 8x\) 对比标准方程 \(y^2 = 2px\)，得 \(2p = 8\)，\(p = 4\)。
焦点坐标：\((\frac{p}{2}, 0) = (2, 0)\)
准线方程：\(x = -\frac{p}{2} = -2\)
例6：已知抛物线 \(y^2 = 2px\) 的焦点到准线的距离为 \(3\)，求 \(p\) 的值及焦点坐标。
解：
焦点到准线的距离为 \(p = 3\)。
焦点坐标为 \((\frac{3}{2}, 0)\)。
1.4 圆锥曲线总结对比
| 对比项 | 椭圆 | 双曲线 | 抛物线 |
|---|---|---|---|
| 定义 | 到两焦点距离之和为常数 | 到两焦点距离之差的绝对值为常数 | 到焦点与准线距离相等 |
| 标准方程（焦点在 \(x\) 轴） | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) | \(y^2=2px\) |
| 参数关系 | \(a^2=b^2+c^2\)，\(a\) 最大 | \(c^2=a^2+b^2\)，\(c\) 最大 | \(p>0\)，仅一个参数 |
| 离心率 | \(0<e<1\) | \(e>1\) | \(e=1\) |
| 渐近线 | 无 | \(y=\pm\frac{b}{a}x\) | 无 |
| 对称轴 | 两条（长轴、短轴） | 两条（实轴、虚轴） | 一条 |
| 开口 | 封闭曲线 | 两支 | 一支 |
| 通径（过焦点垂直于轴的弦） | \(\frac{2b^2}{a}\) | \(\frac{2b^2}{a}\) | \(2p\) |
学习提示：高考中圆锥曲线的考查重点包括：(1) 由条件求方程；(2) 与直线的位置关系（联立方程、韦达定理）；(3) 焦点弦问题；(4) 参数范围问题。务必熟练掌握"设直线→联立方程→韦达定理→求解"的标准流程。
第二章 导数的概念与运算
导数是微积分的核心概念，它描述了函数在某一点的瞬时变化率。导数在高考中占有重要地位，是解决函数单调性、极值、最值等问题的有力工具。
2.1 导数的概念
2.1.1 导数的定义
设函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某邻域内有定义，当自变量 \(x\) 在 \(x_0\) 处有增量 \(\Delta x\) 时，函数有增量 \(\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)\)。
如果极限
\(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\)
存在，则称函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可导，该极限值叫做 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的导数，记作 \(f'(x_0)\) 或 \(y'|_{x=x_0}\)。
2.1.2 导数的几何意义
函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的导数 \(f'(x_0)\) 等于曲线 \(y = f(x)\) 在点 \((x_0, f(x_0))\) 处的切线斜率。
因此，曲线在点 \((x_0, f(x_0))\) 处的切线方程为：
\(y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)\)
2.1.3 导数的物理意义
如果 \(s = s(t)\) 表示物体运动的位移关于时间 \(t\) 的函数，则 \(s'(t)\) 表示物体在时刻 \(t\) 的瞬时速度。
2.1.4 典型例题
例7：利用导数的定义，求函数 \(f(x) = x^2\) 在 \(x = 3\) 处的导数。
解：
\(f'(3) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(3 + \Delta x) - f(3)}{\Delta x}\)
\(= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(3 + \Delta x)^2 - 9}{\Delta x}\)
\(= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{9 + 6\Delta x + (\Delta x)^2 - 9}{\Delta x}\)
\(= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{6\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x}\)
\(= \lim_{\Delta x \to 0} (6 + \Delta x) = 6\)
所以 \(f'(3) = 6\)。
2.2 导数的运算
2.2.1 基本初等函数的导数公式
| 函数 \(f(x)\) | 导数 \(f'(x)\) |
|---|---|
| \(C\)（常数） | \(0\) |
| \(x^n\)（\(n\) 为正整数） | \(nx^{n-1}\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(a^x\)（\(a > 0\)，\(a \neq 1\)） | \(a^x \ln a\) |
| \(\ln x\) | \(\frac{1}{x}\) |
| \(\log_a x\)（\(a > 0\)，\(a \neq 1\)） | \(\frac{1}{x \ln a}\) |
幂函数求导的推广：\(x^n\) 的求导公式对任意实数 \(n\) 均成立。例如：\((\sqrt{x})' = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)；\((\frac{1}{x})' = (x^{-1})' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\)。
2.2.2 导数的运算法则
（1）和差法则：
\([f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x)\)
（2）积法则：
\([f(x) \cdot g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\)
（3）商法则：
\(\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} \quad (g(x) \neq 0)\)
2.2.3 典型例题
例8：求下列函数的导数：
(1) \(f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 7\)
(2) \(g(x) = x^2 \sin x\)
(3) \(h(x) = \frac{e^x}{x}\)
解：
(1) \(f'(x) = 12x^3 - 4x + 5\)
（逐项求导，常数的导数为 \(0\)）
(2) 使用积法则：
\(g'(x) = (x^2)' \sin x + x^2 (\sin x)' = 2x \sin x + x^2 \cos x\)
(3) 使用商法则：
\(h'(x) = \frac{(e^x)' \cdot x - e^x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{e^x \cdot x - e^x}{x^2} = \frac{e^x(x-1)}{x^2}\)
2.3 复合函数求导
2.3.1 链式法则（复合函数求导法则）
设 \(y = f(u)\)，\(u = g(x)\)，则 \(y\) 对 \(x\) 的导数为：
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f'(u) \cdot g'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
通俗理解：复合函数求导就是"层层剥洋葱"——从外到内，逐层求导再相乘。
2.3.2 典型例题
例9：求下列函数的导数：
(1) \(y = (2x + 1)^5\)
(2) \(y = e^{3x^2}\)
(3) \(y = \ln(x^2 + 1)\)
(4) \(y = \sin 2x\)
解：
(1) 设 \(u = 2x + 1\)，则 \(y = u^5\)。
\(\frac{dy}{dx} = 5u^4 \cdot u' = 5(2x+1)^4 \cdot 2 = 10(2x+1)^4\)
(2) 设 \(u = 3x^2\)，则 \(y = e^u\)。
\(\frac{dy}{dx} = e^u \cdot u' = e^{3x^2} \cdot 6x = 6xe^{3x^2}\)
(3) 设 \(u = x^2 + 1\)，则 \(y = \ln u\)。
\(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot u' = \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2+1}\)
(4) 设 \(u = 2x\)，则 \(y = \sin u\)。
\(\frac{dy}{dx} = \cos u \cdot u' = \cos 2x \cdot 2 = 2\cos 2x\)
2.3.3 导数运算总结表
| 类型 | 方法 | 关键公式 |
|---|---|---|
| 和差函数 | 逐项求导 | \((f \pm g)' = f' \pm g'\) |
| 乘积函数 | 积法则 | \((fg)' = f'g + fg'\) |
| 商函数 | 商法则 | \((\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}\) |
| 复合函数 | 链式法则 | \([f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\) |
第三章 导数的应用
导数的应用是高考的高频考点，也是导数学习的核心价值所在。本章将讲解如何利用导数研究函数的单调性、极值和最值，并介绍导数的综合应用。
3.1 导数与函数的单调性
3.1.1 基本定理
设函数 \(f(x)\) 在区间 \((a, b)\) 内可导：
- 若 \(f'(x) > 0\) 在 \((a, b)\) 上恒成立，则 \(f(x)\) 在 \((a, b)\) 上单调递增；
- 若 \(f'(x) < 0\) 在 \((a, b)\) 上恒成立，则 \(f(x)\) 在 \((a, b)\) 上单调递减；
- 若 \(f'(x) = 0\) 在 \((a, b)\) 上恒成立，则 \(f(x)\) 在 \((a, b)\) 上为常函数。
注意：\(f'(x) \geqslant 0\) 且不恒等于 \(0\) 也能推出单调递增。严格单调性需要 \(f'(x) > 0\)（或 \(< 0\)）。
3.1.2 求函数单调区间的一般步骤
- 求导：计算 \(f'(x)\)；
- 求零点：令 \(f'(x) = 0\)，解出所有实根 \(x_1, x_2, \ldots\)；
- 划分区间：用零点将定义域分成若干个区间；
- 判断符号：在每个区间内判断 \(f'(x)\) 的正负；
- 写出结论：\(f'(x) > 0\) 对应递增区间，\(f'(x) < 0\) 对应递减区间。
3.1.3 典型例题
例10：求函数 \(f(x) = x^3 - 3x + 1\) 的单调区间。
解：
第一步：求导。\(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x+1)(x-1)\)
第二步：令 \(f'(x) = 0\)，得 \(x = -1\) 或 \(x = 1\)。
第三步：划分区间并判断符号：
| 区间 | \((-\infty, -1)\) | \((-1, 1)\) | \((1, +\infty)\) |
|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) 的符号 | \(+\) | \(-\) | \(+\) |
| \(f(x)\) 的单调性 | 递增 | 递减 | 递增 |
结论：\(f(x)\) 在 \((-\infty, -1)\) 和 \((1, +\infty)\) 上单调递增，在 \((-1, 1)\) 上单调递减。
例11：求函数 \(f(x) = x - \ln x\) 的单调区间。
解：
\(f(x)\) 的定义域为 \((0, +\infty)\)。
\(f'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}\)
由于 \(x > 0\)，所以 \(f'(x)\) 的符号取决于 \(x - 1\) 的符号：
- 当 \(0 < x < 1\) 时，\(x - 1 < 0\)，\(f'(x) < 0\)，\(f(x)\) 单调递减；
- 当 \(x > 1\) 时，\(x - 1 > 0\)，\(f'(x) > 0\)，\(f(x)\) 单调递增。
结论：\(f(x)\) 在 \((0, 1)\) 上单调递减，在 \((1, +\infty)\) 上单调递增。
3.2 导数与函数的极值
3.2.1 极值的定义
设函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某邻域内有定义：
- 若对该邻域内任意 \(x\)（\(x \neq x_0\)），都有 \(f(x) < f(x_0)\)，则称 \(f(x_0)\) 为极大值，\(x_0\) 为极大值点；
- 若对该邻域内任意 \(x\)（\(x \neq x_0\)），都有 \(f(x) > f(x_0)\)，则称 \(f(x_0)\) 为极小值，\(x_0\) 为极小值点。
3.2.2 极值的判定方法
第一充分条件（利用导数符号变化）：
- 若 \(f'(x)\) 在 \(x_0\) 左侧为正、右侧为负，则 \(f(x_0)\) 为极大值；
- 若 \(f'(x)\) 在 \(x_0\) 左侧为负、右侧为正，则 \(f(x_0)\) 为极小值；
- 若 \(f'(x)\) 在 \(x_0\) 两侧符号不变，则 \(x_0\) 不是极值点。
求极值的一般步骤：
- 求 \(f'(x)\)；
- 令 \(f'(x) = 0\)，求出方程的根；
- 检验 \(f'(x)\) 在各根两侧的符号变化；
- 求出极值。
重要提醒：\(f'(x_0) = 0\) 是 \(x_0\) 为极值点的必要不充分条件。例如 \(f(x) = x^3\)，\(f'(0) = 0\)，但 \(x = 0\) 不是极值点。
3.2.3 典型例题
例12：求函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 1\) 的极值。
解：
\(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)\)
令 \(f'(x) = 0\)，得 \(x = 0\) 或 \(x = 2\)。
| 区间 | \((-\infty, 0)\) | \(0\) | \((0, 2)\) | \(2\) | \((2, +\infty)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(f(x)\) | ↗ | 极大 | ↘ | 极小 | ↗ |
极大值：\(f(0) = 0 - 0 + 1 = 1\)
极小值：\(f(2) = 8 - 12 + 1 = -3\)
3.3 导数与函数的最值
3.3.1 闭区间上最值的求法
函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上的最值求法：
- 求 \(f'(x)\)，找出 \(f(x)\) 在 \((a, b)\) 内的所有极值点；
- 计算 \(f(x)\) 在极值点和端点 \(a\)、\(b\) 处的函数值；
- 比较这些值，最大的为最大值，最小的为最小值。
注意：最值是区间上的全局概念，极值是局部概念。最值一定在极值点或端点处取得。
3.3.2 典型例题
例13：求函数 \(f(x) = x^3 - 3x + 2\) 在区间 \([-3, 3]\) 上的最大值和最小值。
解：
\(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x+1)(x-1)\)
令 \(f'(x) = 0\)，得 \(x = -1\) 或 \(x = 1\)，均在 \((-3, 3)\) 内。
计算各关键点的函数值：
- \(f(-3) = (-3)^3 - 3(-3) + 2 = -27 + 9 + 2 = -16\)
- \(f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4\)
- \(f(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0\)
- \(f(3) = 27 - 9 + 2 = 20\)
结论：最大值为 \(f(3) = 20\)，最小值为 \(f(-3) = -16\)。
3.4 导数的综合应用
3.4.1 含参问题
含参数的导数问题是高考的重点和难点，需要对参数进行分类讨论。
例14：已知函数 \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1\)，在 \(x = -1\) 处有极值 \(5\)，求 \(a\)、\(b\) 的值。
解：
\(f'(x) = 3x^2 + 2ax + b\)
由题意，\(x = -1\) 处有极值，故 \(f'(-1) = 0\)：
\(3(-1)^2 + 2a(-1) + b = 0 \implies 3 - 2a + b = 0 \quad \cdots(1)\)
又 \(f(-1) = 5\)：
\((-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + 1 = 5 \implies -1 + a - b + 1 = 5 \implies a - b = 5 \quad \cdots(2)\)
由 \((1)\)：\(b = 2a - 3\)，代入 \((2)\)：
\(a - (2a - 3) = 5 \implies -a + 3 = 5 \implies a = -2\)
\(b = 2(-2) - 3 = -7\)
验证：\(f'(x) = 3x^2 - 4x - 7 = (3x - 7)(x + 1)\)
\(f'(x)\) 在 \(x = -1\) 处由正变负，确认 \(x = -1\) 是极大值点。✓
答案：\(a = -2\)，\(b = -7\)。
3.4.2 不等式证明
利用导数证明不等式是高考的常见题型，基本思路是构造函数，通过研究函数的单调性或最值来证明不等式。
例15：证明：当 \(x > 0\) 时，\(\ln(1+x) > x - \frac{x^2}{2}\)。
证明：
构造函数 \(f(x) = \ln(1+x) - x + \frac{x^2}{2}\)，\(x > 0\)。
\(f'(x) = \frac{1}{1+x} - 1 + x = \frac{1 - (1+x) + x(1+x)}{1+x} = \frac{1 - 1 - x + x + x^2}{1+x} = \frac{x^2}{1+x}\)
当 \(x > 0\) 时，\(f'(x) = \frac{x^2}{1+x} > 0\)。
因此 \(f(x)\) 在 \((0, +\infty)\) 上单调递增。
又 \(f(0) = \ln 1 - 0 + 0 = 0\)。
所以当 \(x > 0\) 时，\(f(x) > f(0) = 0\)，即 \(\ln(1+x) - x + \frac{x^2}{2} > 0\)。
故 \(\ln(1+x) > x - \frac{x^2}{2}\)，证毕。□
3.4.3 零点问题
利用导数研究方程根的个数是高考的热点问题。
例16：讨论方程 \(e^x = x + 1\) 的实数根的个数。
解：
令 \(f(x) = e^x - x - 1\)，则问题转化为求 \(f(x) = 0\) 的根的个数。
\(f'(x) = e^x - 1\)
令 \(f'(x) = 0\)，得 \(e^x = 1\)，即 \(x = 0\)。
- 当 \(x < 0\) 时，\(e^x < 1\)，\(f'(x) < 0\)，\(f(x)\) 单调递减；
- 当 \(x > 0\) 时，\(e^x > 1\)，\(f'(x) > 0\)，\(f(x)\) 单调递增。
\(f(x)\) 在 \(x = 0\) 处取得最小值 \(f(0) = 1 - 0 - 1 = 0\)。
由于 \(f(x)\) 的最小值为 \(0\)，且仅在 \(x = 0\) 处取得，所以方程 \(e^x = x + 1\) 只有一个实数根 \(x = 0\)。
第四章 综合练习与参考答案
练习一：圆锥曲线基础
1. 已知椭圆 \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\)，求其离心率和焦点坐标。
2. 已知双曲线经过点 \((3, 0)\) 和 \((0, -2)\)（注意：\((0, -2)\) 在虚轴上），求双曲线的标准方程。
3. 求抛物线 \(y^2 = -12x\) 的焦点坐标和准线方程。
4. 已知椭圆的一个焦点为 \((0, 4)\)，且经过点 \((3, 0)\)，求椭圆的标准方程。
练习二：导数运算
5. 求下列函数的导数：
(1) \(f(x) = x^5 - 3x^3 + 2x - 1\)
(2) \(f(x) = (x^2 + 1)(x - 3)\)
(3) \(f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}\)
(4) \(f(x) = e^{2x} \cdot \sin x\)
6. 求下列复合函数的导数：
(1) \(y = (3x - 1)^4\)
(2) \(y = \ln(2x^2 + 1)\)
(3) \(y = \sqrt{x^2 + 4}\)
(4) \(y = \sin^2 x\)
练习三：导数应用
7. 求函数 \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5\) 的单调区间。
8. 求函数 \(f(x) = x^3 - 12x\) 在区间 \([-3, 5]\) 上的最大值和最小值。
9. 已知函数 \(f(x) = x^3 + ax + b\) 在 \(x = 1\) 处取得极值 \(-2\)，求 \(a\)、\(b\) 的值。
10. 证明：当 \(x > 0\) 时，\(e^x > 1 + x\)。
综合练习
11.（圆锥曲线综合） 已知椭圆 \(\frac{x^2}{4} + y^2 = 1\)，直线 \(l\) 经过点 \((1, 0)\) 且斜率为 \(k\)，与椭圆交于 \(A\)、\(B\) 两点。求 \(|AB|\) 的表达式（用 \(k\) 表示）。
12.（导数综合） 已知函数 \(f(x) = x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 6x + 1\)。
(1) 求 \(f(x)\) 的单调区间和极值；
(2) 求 \(f(x)\) 在 \([-2, 4]\) 上的最大值和最小值。
13.（不等式证明） 证明：当 \(x > 1\) 时，\(\ln x > \frac{2(x-1)}{x+1}\)。
14.（参数讨论） 已知函数 \(f(x) = x^3 - ax\) 在 \((1, +\infty)\) 上单调递增，求 \(a\) 的取值范围。
15.（圆锥曲线与直线） 已知抛物线 \(y^2 = 4x\)，过焦点的直线与抛物线交于 \(A(x_1, y_1)\)、\(B(x_2, y_2)\) 两点。证明：\(x_1 x_2 = 1\)。
参考答案
练习一
1. \(a = 5\)，\(b = 4\)，\(c = \sqrt{25 - 16} = 3\)。离心率 \(e = \frac{3}{5}\)，焦点 \((\pm 3, 0)\)。
2. 由题意，\(a = 3\)（实半轴），\(b = 2\)（虚半轴），方程为 \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1\)。
3. \(2p = 12\)，\(p = 6\)。焦点 \((-3, 0)\)，准线 \(x = 3\)。
4. 焦点在 \(y\) 轴上，\(c = 4\)。椭圆经过 \((3, 0)\)，代入 \(\frac{9}{b^2} + \frac{0}{a^2} = 1\)，得 \(b^2 = 9\)。又 \(a^2 = b^2 + c^2 = 9 + 16 = 25\)。方程为 \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1\)。
练习二
5.
(1) \(f'(x) = 5x^4 - 9x^2 + 2\)
(2) \(f'(x) = 2x(x-3) + (x^2+1) = 3x^2 - 6x + 1\)
(3) \(f'(x) = \frac{(x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}\)
(4) \(f'(x) = 2e^{2x}\sin x + e^{2x}\cos x = e^{2x}(2\sin x + \cos x)\)
6.
(1) \(y' = 4(3x-1)^3 \cdot 3 = 12(3x-1)^3\)
(2) \(y' = \frac{4x}{2x^2+1}\)
(3) \(y' = \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}\)
(4) \(y' = 2\sin x \cos x = \sin 2x\)
练习三
7. \(f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x-2)(x+1)\)。递增区间：\((-\infty, -1)\) 和 \((2, +\infty)\)；递减区间：\((-1, 2)\)。
8. \(f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x+2)(x-2)\)。极值点 \(x = -2\)（极大）和 \(x = 2\)（极小）。
\(f(-3) = -27 + 36 = 9\)；\(f(-2) = -8 + 24 = 16\)；\(f(2) = 8 - 24 = -16\)；\(f(5) = 125 - 60 = 65\)。
最大值 \(f(5) = 65\)，最小值 \(f(2) = -16\)。
9. \(f'(x) = 3x^2 + a\)。\(f'(1) = 0 \implies a = -3\)。\(f(1) = 1 - 3 + b = -2 \implies b = 0\)。答案：\(a = -3\)，\(b = 0\)。
10. 令 \(f(x) = e^x - 1 - x\)，\(f'(x) = e^x - 1\)。当 \(x > 0\) 时 \(f'(x) > 0\)，\(f(x)\) 递增。\(f(0) = 0\)，故 \(x > 0\) 时 \(f(x) > 0\)，即 \(e^x > 1 + x\)。证毕。
综合练习
11. 设直线 \(l: y = k(x-1)\)，代入椭圆方程 \(\frac{x^2}{4} + k^2(x-1)^2 = 1\)，整理得 \((1 + 4k^2)x^2 - 8k^2x + 4k^2 - 4 = 0\)。
设 \(A(x_1, y_1)\)，\(B(x_2, y_2)\)，由韦达定理：\(x_1 + x_2 = \frac{8k^2}{1+4k^2}\)，\(x_1 x_2 = \frac{4k^2-4}{1+4k^2}\)。
\(|AB| = \sqrt{1+k^2} \cdot \sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1 x_2}\)（具体化简略，需结合判别式 \(\Delta > 0\) 确定 \(k\) 的范围）。
12.
(1) \(f'(x) = 3x^2 - 3x - 6 = 3(x-2)(x+1)\)。
递增：\((-\infty, -1)\) 和 \((2, +\infty)\)；递减：\((-1, 2)\)。
极大值 \(f(-1) = -1 - \frac{3}{2} + 6 + 1 = \frac{9}{2}\)
极小值 \(f(2) = 8 - 6 - 12 + 1 = -9\)
(2) 在 \([-2, 4]\) 上：\(f(-2) = -8 - 6 + 12 + 1 = -1\)；\(f(-1) = \frac{9}{2}\)；\(f(2) = -9\)；\(f(4) = 64 - 24 - 24 + 1 = 17\)。
最大值 \(f(4) = 17\)，最小值 \(f(2) = -9\)。
13. 令 \(f(x) = \ln x - \frac{2(x-1)}{x+1}\)（\(x > 1\)）。
\(f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{2(x+1) - 2(x-1)}{(x+1)^2} = \frac{1}{x} - \frac{4}{(x+1)^2} = \frac{(x+1)^2 - 4x}{x(x+1)^2} = \frac{(x-1)^2}{x(x+1)^2}\)
当 \(x > 1\) 时 \(f'(x) > 0\)，\(f(x)\) 递增。\(f(1) = 0\)，故 \(x > 1\) 时 \(f(x) > 0\)，即 \(\ln x > \frac{2(x-1)}{x+1}\)。证毕。
14. \(f'(x) = 3x^2 - a\)。\(f(x)\) 在 \((1, +\infty)\) 上递增，需 \(f'(x) \geqslant 0\) 对 \(x > 1\) 恒成立。
\(3x^2 \geqslant a\)，当 \(x > 1\) 时 \(3x^2 > 3\)，故 \(a \leqslant 3\)。
15. 抛物线 \(y^2 = 4x\) 的焦点为 \((1, 0)\)。设直线 \(AB: x = my + 1\)，代入 \(y^2 = 4(my+1)\)，得 \(y^2 - 4my - 4 = 0\)。
\(y_1 y_2 = -4\)，\(x_1 x_2 = (my_1+1)(my_2+1) = m^2 y_1 y_2 + m(y_1+y_2) + 1 = -4m^2 + 4m^2 + 1 = 1\)。
故 \(x_1 x_2 = 1\)，证毕。□
学习建议：圆锥曲线和导数是高考数学的两大核心板块，建议同学们在理解概念的基础上，多做典型题型，尤其是圆锥曲线与直线联立的计算题和导数的含参讨论题。计算能力和分类讨论思维是得分的关键。
本教程内容为原创编写，适用于高二上册数学学习，祝同学们学习进步！
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