高一物理上册教程——力学基础

适用年级：高一上册 | 科目：物理 | 难度：基础到中等

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前言

力学是整个高中物理的基石。从本教程开始，你将系统学习运动的描述、力的分析以及牛顿运动定律，逐步建立起完整的力学思维体系。本教程按照高一上册物理课程的核心内容编排，分为三大部分：运动学基础、力的分析、牛顿运动定律。每一部分都包含详细的知识点讲解、总结表格、典型例题及练习题，帮助你扎实掌握力学入门知识。

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第一部分：运动学基础——匀变速直线运动

第一章 运动的描述

1.1 质点与参考系

质点是物理学中的一个重要理想模型。当物体的大小和形状对所研究的问题影响很小，可以忽略不计时，就可以把物体看作一个有质量的点——质点。例如，研究地球绕太阳公转时，地球的直径（约1.3万公里）远小于公转轨道半径（约1.5亿公里），因此可以将地球视为质点。

参考系是描述物体运动时被选作标准的另一个物体。选择不同的参考系，对同一运动的描述可能不同。例如，坐在行驶的火车里，以车厢为参考系，你是静止的；以地面为参考系，你是运动的。在实际问题中，通常选择地面或相对地面静止的物体作为参考系。

1.2 位移与路程

• 位移：从初位置指向末位置的有向线段，是矢量，用 \(\vec{s}\) 表示。
• 路程：物体运动轨迹的长度，是标量，用 \(s\) 表示。

位移的大小不一定等于路程。只有当物体做单方向直线运动时，位移的大小才等于路程。

1.3 速度与速率

• 平均速度：位移与时间的比值，\(\bar{v} = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}\)，是矢量。
• 瞬时速度：物体在某一时刻（或某一位置）的速度，是矢量。
• 平均速率：路程与时间的比值，是标量。
• 瞬时速率：瞬时速度的大小，是标量。

1.4 加速度

加速度是描述速度变化快慢的物理量，定义为：

\(a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\)

其中 \(\Delta v\) 是速度的变化量，\(\Delta t\) 是时间间隔。加速度是矢量，方向与速度变化量的方向相同。

• 加速度与速度同向 → 物体加速
• 加速度与速度反向 → 物体减速
• 加速度为零 → 物体做匀速运动（或静止）

注意：加速度大不代表速度大，加速度小不代表速度小。加速度描述的是速度变化的快慢，而不是速度本身的大小。

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第二章 匀变速直线运动

2.1 匀变速直线运动的定义

匀变速直线运动是指物体沿直线运动，且加速度恒定不变的运动。根据加速度与速度的方向关系，可分为：

• 匀加速直线运动：加速度与速度同向
• 匀减速直线运动：加速度与速度反向

2.2 匀变速直线运动的基本公式

匀变速直线运动有四个核心公式，是解决运动学问题的基础：

速度—时间公式：

\(v = v_0 + at\)

位移—时间公式：

\(x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\)

速度—位移公式：

\(v^2 - v_0^2 = 2ax\)

平均速度公式：

\(\bar{v} = \frac{v_0 + v}{2}\)

其中：\(v_0\) 为初速度，\(v\) 为末速度，\(a\) 为加速度，\(t\) 为时间，\(x\) 为位移。

学习建议：四个公式中只有两个是独立的（任选两个可以推导出另外两个）。解题时，先明确已知量和未知量，再选择合适的公式，通常可以避免联立方程组。

2.3 自由落体运动

自由落体运动是物体只在重力作用下从静止开始下落的运动，是匀变速直线运动的特例。

• 初速度 \(v_0 = 0\)
• 加速度 \(a = g\)（重力加速度，约 \(9.8 \text{ m/s}^2\)，通常取 \(10 \text{ m/s}^2\)）

自由落体运动的公式：

\(v = gt\)

\(h = \frac{1}{2}gt^2\)

\(v^2 = 2gh\)

2.4 竖直上抛运动

竖直上抛运动是将物体以一定的初速度竖直向上抛出，物体只在重力作用下的运动。

• 初速度 \(v_0\) 向上
• 加速度 \(a = -g\)（取向上为正方向）

竖直上抛运动的特点：

• 上升阶段做匀减速运动，速度逐渐减小到零
• 下降阶段做匀加速运动（自由落体）
• 上升到最高点时速度为零
• 上升时间等于下降时间：\(t_{\text{上}} = t_{\text{下}} = \dfrac{v_0}{g}\)
• 最大高度：\(H = \dfrac{v_0^2}{2g}\)

2.5 匀变速直线运动的图像

x-t 图像（位移—时间图像）：

• 匀速直线运动：一条倾斜直线，斜率表示速度
• 匀变速直线运动：一条抛物线

v-t 图像（速度—时间图像）：

• 匀速直线运动：一条水平直线
• 匀变速直线运动：一条倾斜直线，斜率表示加速度
• v-t 图像中，图线与时间轴围成的面积表示位移（时间轴上方为正位移，下方为负位移）

2.6 知识点总结表

物理量	符号	单位	性质	说明
位移	\(x\)	米(m)	矢量	从初位置指向末位置
路程	\(s\)	米(m)	标量	运动轨迹的长度
速度	\(v\)	米/秒(m/s)	矢量	位移对时间的变化率
速率	—	米/秒(m/s)	标量	速度的大小
加速度	\(a\)	米/秒²(m/s²)	矢量	速度对时间的变化率
时间	\(t\)	秒(s)	标量	运动持续时间

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2.7 典型例题

例题1：匀变速直线运动基本公式应用

一辆汽车以 \(v_0 = 10 \text{ m/s}\) 的速度行驶，刹车后以 \(a = -2 \text{ m/s}^2\) 的加速度做匀减速运动。求：

(1) 刹车后 \(3 \text{s}\) 末的速度；

(2) 刹车后 \(6 \text{s}\) 内的位移。

解答：

(1) 由速度公式 \(v = v_0 + at\)：

\(v = 10 + (-2) \times 3 = 4 \text{ m/s}\)

所以 \(3 \text{s}\) 末的速度为 \(4 \text{ m/s}\)，方向与初速度方向相同。

(2) 首先判断汽车刹车后多久停下来。令 \(v = 0\)：

\(0 = 10 + (-2)t \quad \Rightarrow \quad t = 5 \text{s}\)

即汽车在 \(5 \text{s}\) 末就已停止运动，\(6 \text{s}\) 内的位移等于 \(5 \text{s}\) 内的位移。

\(x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 = 10 \times 5 + \frac{1}{2} \times (-2) \times 5^2 = 50 - 25 = 25 \text{ m}\)

易错提醒：遇到刹车问题，务必先计算停车时间，不能直接将时间代入公式，否则会出现"汽车停下后又反向运动"的荒谬结果。

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例题2：自由落体运动

一个物体从高为 \(h = 80 \text{ m}\) 的楼顶自由落下（取 \(g = 10 \text{ m/s}^2\)），求：

(1) 物体落地的时间；

(2) 物体落地时的速度；

(3) 物体在最后 \(1 \text{s}\) 内下落的距离。

解答：

(1) 由 \(h = \dfrac{1}{2}gt^2\)：

\(80 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2 \quad \Rightarrow \quad t^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad t = 4 \text{s}\)

(2) 由 \(v = gt\)：

\(v = 10 \times 4 = 40 \text{ m/s}\)

(3) 最后 \(1 \text{s}\) 内下落的距离 = 总高度 - 前 \(3 \text{s}\) 下落的距离：

前 \(3 \text{s}\) 下落的距离：\(h_3 = \dfrac{1}{2} \times 10 \times 3^2 = 45 \text{ m}\)

最后 \(1 \text{s}\) 下落的距离：\(\Delta h = 80 - 45 = 35 \text{ m}\)

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2.8 练习题

1. 一个物体做匀加速直线运动，初速度为 \(2 \text{ m/s}\)，加速度为 \(1 \text{ m/s}^2\)，求第 \(3 \text{s}\) 内的位移。

2. 一石子从井口自由落下，经过 \(2 \text{s}\) 听到石子落水的声音（忽略声音传播时间），求井口到水面的深度。（取 \(g = 10 \text{ m/s}^2\)）

3. 一辆汽车以 \(20 \text{ m/s}\) 的速度匀速行驶，突然发现前方 \(50 \text{ m}\) 处有障碍物，司机立即刹车，汽车以 \(4 \text{ m/s}^2\) 的加速度做匀减速运动。问汽车能否在障碍物前停下？

4. 一个物体从 \(20 \text{ m}\) 高处以 \(v_0 = 10 \text{ m/s}\) 的初速度竖直上抛，求物体落地时的速度和运动时间。（取 \(g = 10 \text{ m/s}^2\)）

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第二部分：力的分析

第三章 力的基本概念

3.1 力的定义与性质

力是物体之间的相互作用。力不能脱离物体而独立存在，一个力必然涉及两个物体：施力物体和受力物体。

力的三要素：大小、方向、作用点。力是矢量，用带箭头的线段表示，箭头方向表示力的方向，线段长度表示力的大小。

力的基本性质：

• 物质性：力不能脱离物体而存在
• 相互性：力的作用是相互的，施力物体同时也是受力物体
• 矢量性：力是矢量，遵循矢量运算法则

3.2 力的分类

按力的性质分类：

• 重力
• 弹力
• 摩擦力
• 电磁力（后续学习）

按力的效果分类：

• 拉力、压力、支持力
• 动力、阻力
• 向心力（后续学习）

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第四章 重力

4.1 重力的定义

重力是由于地球的吸引而使物体受到的力。地球上的一切物体都受到重力的作用。

重力的大小：\(G = mg\)

其中 \(m\) 为物体的质量（单位：kg），\(g\) 为重力加速度（单位：\(\text{m/s}^2\)），\(G\) 为重力（单位：N）。

4.2 重力的方向

重力的方向始终竖直向下（注意不是"垂直向下"）。

4.3 重心

重心是物体各部分所受重力的等效作用点。

• 质量分布均匀、形状规则的物体，重心在几何中心
• 质量分布不均匀的物体，重心不一定在物体上
• 重心的位置可以在物体上，也可以在物体外
• 用悬挂法可以确定薄板状物体的重心位置

4.4 重力总结表

项目	内容
定义	由于地球吸引而使物体受到的力
大小	\(G = mg\)，\(g \approx 9.8 \text{ m/s}^2\)
方向	竖直向下
作用点	重心
施力物体	地球
受力物体	地球上的物体

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第五章 弹力

5.1 形变

物体在力的作用下形状或体积发生改变，叫做形变。

形变的分类：

• 弹性形变：撤去外力后能恢复原状的形变
• 塑性形变：撤去外力后不能恢复原状的形变

弹性限度：物体能发生弹性形变的最大限度。超过弹性限度，物体将发生塑性形变。

5.2 弹力的定义

弹力是发生弹性形变的物体，由于要恢复原状，对与它接触的物体产生的力。

弹力产生的条件：

1. 两物体直接接触
2. 物体发生弹性形变

5.3 弹力的方向

弹力的方向总是与物体形变的方向相反，即指向恢复原状的方向。

• 支持力（或压力）：垂直于接触面指向被支持的物体
• 绳的拉力：沿绳的方向指向绳收缩的方向

判断弹力方向的口诀：弹力方向与形变方向相反，支持力垂直于接触面，拉力沿绳指向绳收缩方向。

5.4 弹力的大小——胡克定律

在弹性限度内，弹簧的弹力 \(F\) 与弹簧的伸长量（或压缩量）\(x\) 成正比：

\(F = kx\)

其中 \(k\) 为弹簧的劲度系数，单位为 \(\text{N/m}\)，由弹簧本身的材料、粗细、长度等因素决定。\(x\) 为弹簧的形变量（伸长量或压缩量）。

注意：\(x\) 是形变量，不是弹簧的长度。\(x = |l - l_0|\)，其中 \(l\) 为弹簧当前长度，\(l_0\) 为弹簧的原长。

5.5 弹力总结表

项目	内容
定义	发生弹性形变的物体对接触物体的力
产生条件	直接接触 + 弹性形变
方向	与形变方向相反
大小	弹簧：\(F = kx\)（胡克定律）
常见类型	支持力、压力、拉力

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5.6 典型例题

例题3：弹力方向判断

如图所示，一个球放在光滑斜面上并与竖直挡板接触，试分析球受到的弹力方向。

解答：

球与斜面接触，斜面对球的支持力 \(N_1\) 垂直于斜面向上；球与挡板接触，挡板对球的支持力 \(N_2\) 垂直于挡板向右（水平方向）。

例题4：胡克定律应用

一根弹簧原长为 \(l_0 = 10 \text{ cm}\)，在 \(F_1 = 2 \text{ N}\) 的拉力作用下伸长到 \(l_1 = 12 \text{ cm}\)。求：

(1) 弹簧的劲度系数；

(2) 在 \(F_2 = 5 \text{ N}\) 的拉力作用下弹簧的长度。

解答：

(1) 形变量 \(x_1 = l_1 - l_0 = 12 - 10 = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}\)

由胡克定律 \(F = kx\)：

\(k = \frac{F_1}{x_1} = \frac{2}{0.02} = 100 \text{ N/m}\)

(2) 在 \(F_2 = 5 \text{ N}\) 作用下，形变量：

\(x_2 = \frac{F_2}{k} = \frac{5}{100} = 0.05 \text{ m} = 5 \text{ cm}\)

弹簧长度 \(l_2 = l_0 + x_2 = 10 + 5 = 15 \text{ cm}\)

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5.7 练习题

5. 一根弹簧原长 \(20 \text{ cm}\)，挂上 \(1 \text{ N}\) 的重物后长度变为 \(24 \text{ cm}\)。求弹簧的劲度系数。若要使弹簧长度变为 \(30 \text{ cm}\)，需挂多重的物体？

6. 判断下列情况中物体是否受到弹力的作用，并说明弹力的方向：

   • (a) 一本书放在水平桌面上
   • (b) 一个球靠在竖直墙壁上（球与墙壁接触但无挤压）
   • (c) 一根绳子悬挂一个物体

7. 两根相同的弹簧串联后悬挂一个重物，每根弹簧伸长 \(2 \text{ cm}\)。若将这两根弹簧并联后悬挂同一重物，每根弹簧伸长多少？

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第六章 摩擦力

6.1 摩擦力的定义

摩擦力是两个相互接触的物体，当它们发生相对运动或有相对运动趋势时，在接触面上产生的阻碍相对运动（或相对运动趋势）的力。

6.2 静摩擦力

静摩擦力是两个相互接触的物体间有相对运动趋势但没有相对运动时产生的摩擦力。

• 产生条件：接触面粗糙、有弹力、有相对运动趋势
• 方向：与相对运动趋势方向相反
• 大小：\(0 < f \leq f_{\max}\)，其中 \(f_{\max}\) 为最大静摩擦力

关键理解：静摩擦力的大小随外力的变化而变化，需要用平衡条件来求解。最大静摩擦力 \(f_{\max}\) 近似等于滑动摩擦力。

6.3 滑动摩擦力

滑动摩擦力是两个相互接触的物体间有相对滑动时产生的摩擦力。

• 产生条件：接触面粗糙、有弹力、有相对运动
• 方向：与相对运动方向相反
• 大小：\(f = \mu N\)

其中 \(\mu\) 为动摩擦因数（无单位），\(N\) 为接触面上的正压力。

动摩擦因数 \(\mu\) 由接触面的材料和粗糙程度决定，与接触面积无关、与运动速度无关。

6.4 摩擦力的常见误区

1. 摩擦力不一定是阻力。摩擦力可以是动力。例如，人走路时，地面对脚的摩擦力是向前的，是人前进的动力。

2. 静止的物体不一定受静摩擦力。只有当物体有相对运动趋势时才受静摩擦力。

3. 运动的物体不一定受滑动摩擦力。如果接触面间没有相对运动，就不产生滑动摩擦力。

4. 摩擦力的方向不一定与运动方向相反。摩擦力的方向与相对运动（或相对运动趋势）方向相反，但不一定与物体的运动方向相反。

6.5 摩擦力总结表

项目	静摩擦力	滑动摩擦力
产生条件	接触面粗糙、有弹力、有相对运动趋势	接触面粗糙、有弹力、有相对运动
方向	与相对运动趋势方向相反	与相对运动方向相反
大小	\(0 < f \leq f_{\max}\)，由平衡条件确定	\(f = \mu N\)
是否可变	可随外力变化	通常不变（\(\mu\) 和 \(N\) 不变时）

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6.6 典型例题

例题5：摩擦力的判断与计算

一个质量为 \(m = 2 \text{ kg}\) 的物体放在水平桌面上，动摩擦因数 \(\mu = 0.3\)。分别求以下情况下物体受到的摩擦力：（取 \(g = 10 \text{ m/s}^2\)）

(1) 物体静止在桌面上，无其他外力；

(2) 用 \(F_1 = 4 \text{ N}\) 的水平力推物体，物体仍静止；

(3) 用 \(F_2 = 8 \text{ N}\) 的水平力推物体，物体恰好做匀速运动；

(4) 用 \(F_3 = 10 \text{ N}\) 的水平力推物体。

解答：

物体的重力 \(G = mg = 2 \times 10 = 20 \text{ N}\)，支持力 \(N = G = 20 \text{ N}\)。

(1) 无相对运动趋势，不受摩擦力，\(f = 0\)。

(2) 物体有向右运动趋势，受静摩擦力向左。由平衡条件：\(f_1 = F_1 = 4 \text{ N}\)（静摩擦力）。

(3) 物体匀速运动，受滑动摩擦力。由平衡条件：\(f_2 = F_2 = 8 \text{ N}\)。

由此可得 \(\mu = \dfrac{f_2}{N} = \dfrac{8}{20} = 0.4\)（题目给定 \(\mu = 0.3\)，此处按题目条件重新计算：\(f = \mu N = 0.3 \times 20 = 6 \text{ N}\)，则 \(F_2 = 6 \text{ N}\) 时匀速运动。此处按 \(\mu = 0.3\) 计算）

修正：\(f_2 = \mu N = 0.3 \times 20 = 6 \text{ N}\)，即 \(F_2 = 6 \text{ N}\) 时物体做匀速运动。

(4) \(F_3 = 10 \text{ N} > f = 6 \text{ N}\)，物体做加速运动，滑动摩擦力 \(f_3 = \mu N = 6 \text{ N}\)。

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例题6：静摩擦力的分析

如图所示，用手握住一个瓶子，瓶子静止不动。试分析瓶子受到的摩擦力。

解答：

瓶子受到重力 \(G\)（竖直向下），由于瓶子静止，竖直方向合力为零。因此手对瓶子的摩擦力 \(f = G\)（竖直向上），为静摩擦力。

如果增大握力，瓶子仍然静止，摩擦力仍然等于重力，不会增大。增大的只是正压力和最大静摩擦力，实际静摩擦力由平衡条件决定。

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6.7 练习题

8. 一个重 \(50 \text{ N}\) 的物体放在水平地面上，动摩擦因数 \(\mu = 0.2\)。用 \(15 \text{ N}\) 的水平力推物体，物体受到的摩擦力是多少？

9. 一个物体沿斜面匀速下滑，斜面倾角为 \(\theta\)，求物体与斜面间的动摩擦因数。

10. 判断正误：

    • (a) 摩擦力一定是阻力。（ ）
    • (b) 静止的物体一定不受摩擦力。（ ）
    • (c) 运动的物体一定受滑动摩擦力。（ ）
    • (d) 摩擦力的方向一定与运动方向相反。（ ）

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第三部分：牛顿运动定律

第七章 牛顿第一定律

7.1 牛顿第一定律的内容

牛顿第一定律（惯性定律）：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，除非有外力迫使它改变这种状态。

7.2 惯性

惯性是物体保持原来运动状态不变的性质。一切物体都有惯性。

• 惯性是物体的固有属性，与物体是否受力、是否运动无关
• 质量是惯性大小的唯一量度：质量越大，惯性越大
• 惯性不是力，不能说"受到惯性的作用"，应说"由于惯性"

7.3 牛顿第一定律的意义

• 揭示了力和运动的关系：力不是维持运动的原因，而是改变运动状态的原因
• 定义了惯性的概念
• 指出了惯性参考系的存在

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第八章 牛顿第二定律

8.1 牛顿第二定律的内容

牛顿第二定律：物体的加速度与所受合外力成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同。

\(F = ma\)

其中 \(F\) 为物体所受的合外力（单位：N），\(m\) 为物体的质量（单位：kg），\(a\) 为物体的加速度（单位：\(\text{m/s}^2\)）。

8.2 牛顿第二定律的理解

1. 矢量性：\(F\) 和 \(a\) 都是矢量，\(F = ma\) 是矢量关系式，加速度的方向始终与合外力的方向相同。

2. 瞬时性：加速度与合外力是瞬时对应关系，合外力变化，加速度立即变化。

3. 独立性：物体受到多个力时，每个力产生的加速度互不影响，物体的实际加速度是各力产生的加速度的矢量和。

4. 适用范围：适用于宏观、低速的物体，不适用于微观粒子和接近光速的运动。

8.3 力的合成与分解

力的合成：求几个力的合力。

• 两个力 \(F_1\)、\(F_2\) 的合力大小：\(F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1 F_2 \cos\theta}\)，其中 \(\theta\) 为两力的夹角。
• 当两力同向（\(\theta = 0°\)）时：\(F = F_1 + F_2\)
• 当两力反向（\(\theta = 180°\)）时：\(F = |F_1 - F_2|\)
• 当两力垂直（\(\theta = 90°\)）时：\(F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}\)

力的分解：将一个力分解为两个或多个分力。力的分解是力的合成的逆运算，遵循平行四边形定则。

8.4 正交分解法

正交分解法是将力分解到互相垂直的两个方向（通常是水平方向和竖直方向）上，分别列方程求解。

步骤：

1. 确定研究对象
2. 受力分析，画出受力图
3. 建立坐标系（通常取加速度方向为 \(x\) 轴正方向）
4. 将各力分解到 \(x\)、\(y\) 轴上
5. 分别列方程：\(\sum F_x = ma_x\)，\(\sum F_y = ma_y\)

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第九章 牛顿第三定律

9.1 牛顿第三定律的内容

牛顿第三定律：两个物体之间的作用力和反作用力，总是大小相等、方向相反、作用在同一条直线上。

\(F_{AB} = -F_{BA}\)

9.2 作用力与反作用力的特点

1. 等大：大小相等
2. 反向：方向相反
3. 共线：作用在同一条直线上
4. 同时产生、同时消失：没有先后之分
5. 分别作用在两个物体上：不能抵消
6. 性质相同：作用力是弹力，反作用力也是弹力

9.3 作用力与反作用力 vs 一对平衡力

比较项目	作用力与反作用力	一对平衡力
作用对象	两个不同物体	同一物体
是否同时	同时产生、同时消失	不一定同时
力的性质	一定相同	不一定相同
能否抵消	不能（作用在不同物体上）	能（作用在同一物体上）
效果	各自产生效果	合力为零，物体平衡

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第十章 牛顿运动定律的应用

10.1 应用牛顿第二定律解题的基本步骤

1. 确定研究对象：明确要分析哪个物体
2. 受力分析：画出物体的受力图（重力、弹力、摩擦力等）
3. 确定运动状态：判断物体的加速度方向和大小
4. 建立坐标系：通常取加速度方向为正方向
5. 列方程：根据牛顿第二定律 \(F = ma\) 列方程
6. 求解并检验：求解方程，检验答案的合理性

10.2 常见力学模型

模型一：水平面上的物体

物体在水平面上受外力 \(F\) 作用，动摩擦因数为 \(\mu\)。

• 水平方向：\(F - f = ma\)，其中 \(f = \mu N\)
• 竖直方向：\(N = mg\)
• 联立得：\(a = \dfrac{F - \mu mg}{m}\)

模型二：斜面上的物体

物体沿光滑斜面（倾角 \(\theta\)）自由下滑：

• 沿斜面方向：\(mg\sin\theta = ma\)
• 垂直斜面方向：\(N = mg\cos\theta\)
• 加速度：\(a = g\sin\theta\)

物体沿粗糙斜面（动摩擦因数 \(\mu\)）下滑：

• 沿斜面方向：\(mg\sin\theta - f = ma\)
• 垂直斜面方向：\(N = mg\cos\theta\)
• \(f = \mu N = \mu mg\cos\theta\)
• 加速度：\(a = g(\sin\theta - \mu\cos\theta)\)

模型三：连接体问题

两个物体 \(A\) 和 \(B\) 用轻绳连接，受外力 \(F\) 作用在光滑水平面上运动：

• 对整体：\(F = (m_A + m_B)a\)
• 对 \(A\)（或 \(B\)）单独分析绳的张力

10.3 超重与失重

超重：物体对支持物的压力（或对悬挂物的拉力）大于物体所受重力的现象。

• 条件：物体具有向上的加速度（向上加速或向下减速）
• 表现：\(N = m(g + a) > mg\)

失重：物体对支持物的压力（或对悬挂物的拉力）小于物体所受重力的现象。

• 条件：物体具有向下的加速度（向下加速或向上减速）
• 表现：\(N = m(g - a) < mg\)

完全失重：物体对支持物的压力（或对悬挂物的拉力）为零的状态。

• 条件：\(a = g\)，方向竖直向下
• 例如：自由落体、绕地球做圆周运动的飞船

10.4 牛顿运动定律总结表

定律	内容	关键词	意义
第一定律	物体总保持匀速直线运动或静止状态，除非有外力迫使它改变	惯性、力改变运动状态	定义了惯性，揭示了力与运动的关系
第二定律	\(F = ma\)	加速度、合外力、质量	定量描述了力与运动的关系
第三定律	\(F_{AB} = -F_{BA}\)	作用力与反作用力、等大反向	揭示了力的相互性

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10.5 典型例题

例题7：牛顿第二定律基本应用

一个质量为 \(m = 5 \text{ kg}\) 的物体放在光滑水平面上，受到一个大小为 \(F = 20 \text{ N}\) 的水平力作用。求物体的加速度和 \(3 \text{s}\) 末的速度。

解答：

光滑水平面无摩擦力，物体只受水平外力 \(F\)。

由牛顿第二定律 \(F = ma\)：

\(a = \frac{F}{m} = \frac{20}{5} = 4 \text{ m/s}^2\)

\(3 \text{s}\) 末的速度（初速度为零）：

\(v = at = 4 \times 3 = 12 \text{ m/s}\)

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例题8：斜面问题

一个质量为 \(m = 2 \text{ kg}\) 的物体从倾角为 \(\theta = 30°\) 的光滑斜面顶端由静止开始下滑。求物体的加速度和滑到斜面底端时的速度（斜面长 \(L = 4 \text{ m}\)，取 \(g = 10 \text{ m/s}^2\)）。

解答：

沿斜面方向受力分析：重力沿斜面的分力 \(F_1 = mg\sin\theta\)

由牛顿第二定律：

\(a = \frac{mg\sin\theta}{m} = g\sin\theta = 10 \times \sin30° = 10 \times 0.5 = 5 \text{ m/s}^2\)

由运动学公式 \(v^2 = 2aL\)：

\(v = \sqrt{2aL} = \sqrt{2 \times 5 \times 4} = \sqrt{40} \approx 6.32 \text{ m/s}\)

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例题9：连接体问题

如图所示，两个物体 \(A\)（质量 \(m_A = 3 \text{ kg}\)）和 \(B\)（质量 \(m_B = 2 \text{ kg}\)）用轻绳连接，放在光滑水平面上。用 \(F = 10 \text{ N}\) 的水平力拉物体 \(B\)。求：

(1) 系统的加速度；

(2) 绳的张力。

解答：

(1) 将 \(A\) 和 \(B\) 看作整体，整体受外力 \(F = 10 \text{ N}\)：

\(a = \frac{F}{m_A + m_B} = \frac{10}{3 + 2} = 2 \text{ m/s}^2\)

(2) 对 \(A\) 单独分析，\(A\) 只受绳的张力 \(T\)：

\(T = m_A a = 3 \times 2 = 6 \text{ N}\)

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例题10：超重与失重

一个质量为 \(m = 60 \text{ kg}\) 的人站在电梯中的体重秤上。求以下情况下体重秤的示数：（取 \(g = 10 \text{ m/s}^2\)）

(1) 电梯以 \(a = 2 \text{ m/s}^2\) 的加速度上升；

(2) 电梯以 \(a = 2 \text{ m/s}^2\) 的加速度下降；

(3) 电梯自由下落。

解答：

以向上为正方向，对人受力分析：重力 \(mg\)（向下）、支持力 \(N\)（向上）。

由牛顿第二定律：\(N - mg = ma\)，得 \(N = m(g + a)\)。

(1) \(a = 2 \text{ m/s}^2\)（向上）：

\(N = 60 \times (10 + 2) = 720 \text{ N}\)

体重秤示数为 \(720 \text{ N}\)（超重）。

(2) \(a = -2 \text{ m/s}^2\)（向下，取向上为正）：

\(N = 60 \times (10 - 2) = 480 \text{ N}\)

体重秤示数为 \(480 \text{ N}\)（失重）。

(3) \(a = -10 \text{ m/s}^2\)（自由下落）：

\(N = 60 \times (10 - 10) = 0 \text{ N}\)

体重秤示数为 \(0 \text{ N}\)（完全失重）。

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10.6 练习题

11. 一个质量为 \(10 \text{ kg}\) 的物体在光滑水平面上受到 \(30 \text{ N}\) 的水平力作用，求物体的加速度和 \(4 \text{s}\) 内的位移。

12. 一个质量为 \(m = 1 \text{ kg}\) 的物体从倾角为 \(37°\) 的粗糙斜面（\(\mu = 0.5\)）上由静止开始下滑。求物体的加速度。（取 \(g = 10 \text{ m/s}^2\)，\(\sin37° = 0.6\)，\(\cos37° = 0.8\)）

13. 用 \(20 \text{ N}\) 的水平力推一个质量为 \(5 \text{ kg}\) 的物体，物体与地面间的动摩擦因数为 \(0.2\)。求物体的加速度。（取 \(g = 10 \text{ m/s}^2\)）

14. 一个人站在电梯里，电梯以 \(3 \text{ m/s}^2\) 的加速度下降。人的质量为 \(50 \text{ kg}\)，求人对电梯地板的压力。（取 \(g = 10 \text{ m/s}^2\)）

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综合练习

一、选择题（每题只有一个正确选项）

1. 关于质点，下列说法正确的是（ ）

   1. 体积很小的物体一定可以看作质点
   2. 质量很小的物体一定可以看作质点
   3. 研究地球自转时，地球可以看作质点
   4. 物体能否看作质点取决于所研究的问题

2. 一个物体做匀变速直线运动，在时间 \(t\) 内速度从 \(v_1\) 增大到 \(v_2\)，则在这段时间内的位移为（ ）

   1. \((v_1 + v_2)t\)
   2. \(\dfrac{(v_1 + v_2)t}{2}\)
   3. \((v_2 - v_1)t\)
   4. \(\dfrac{(v_2 - v_1)t}{2}\)

3. 关于摩擦力，下列说法正确的是（ ）

   1. 静止的物体一定不受摩擦力
   2. 运动的物体一定受滑动摩擦力
   3. 摩擦力的方向一定与物体运动方向相反
   4. 摩擦力的方向与相对运动（或相对运动趋势）方向相反

4. 一个物体在水平面上受到 \(10 \text{ N}\) 的水平推力做匀速运动，若将推力增大到 \(15 \text{ N}\)，物体的加速度为（物体质量为 \(5 \text{ kg}\)）（ ）

   1. \(1 \text{ m/s}^2\)
   2. \(2 \text{ m/s}^2\)
   3. \(3 \text{ m/s}^2\)
   4. \(5 \text{ m/s}^2\)

5. 关于牛顿第三定律，下列说法正确的是（ ）

   1. 作用力和反作用力可以相互抵消
   2. 作用力和反作用力可以作用在同一物体上
   3. 作用力和反作用力总是同时产生、同时消失
   4. 作用力和反作用力的性质可以不同

6. 一个物体从高处自由落下，经过最后 \(10 \text{ m}\) 用时 \(1 \text{s}\)，则物体开始下落的高度为（取 \(g = 10 \text{ m/s}^2\)）（ ）

   1. \(45 \text{ m}\)
   2. \(50 \text{ m}\)
   3. \(55 \text{ m}\)
   4. \(60 \text{ m}\)

7. 在电梯中用弹簧秤称量一个物体，当电梯匀速上升时，弹簧秤示数为 \(10 \text{ N}\)。当电梯以 \(2 \text{ m/s}^2\) 的加速度减速上升时，弹簧秤示数为（取 \(g = 10 \text{ m/s}^2\)）（ ）

   1. \(8 \text{ N}\)
   2. \(10 \text{ N}\)
   3. \(12 \text{ N}\)
   4. \(20 \text{ N}\)

8. 两根相同的弹簧并联后悬挂一个重物 \(G\)，每根弹簧伸长 \(x\)。若改为串联后悬挂同一重物，每根弹簧伸长为（ ）

   1. \(x\)
   2. \(2x\)
   3. \(x/2\)
   4. \(4x\)

二、填空题

9. 一个物体以 \(v_0 = 20 \text{ m/s}\) 的初速度竖直上抛，物体上升的最大高度为______m，从抛出到回到抛出点所用时间为______s。（取 \(g = 10 \text{ m/s}^2\)）

10. 一个质量为 \(m = 4 \text{ kg}\) 的物体放在水平地面上，动摩擦因数 \(\mu = 0.25\)。用 \(F = 15 \text{ N}\) 的水平力推物体，物体的加速度为______\(\text{m/s}^2\)。（取 \(g = 10 \text{ m/s}^2\)）

11. 一个物体从静止开始做匀加速直线运动，在第 \(3 \text{s}\) 内的位移为 \(5 \text{ m}\)，则物体的加速度为______\(\text{m/s}^2\)，前 \(3 \text{s}\) 内的位移为______m。

12. 一根弹簧原长 \(15 \text{ cm}\)，挂上 \(2 \text{ N}\) 的物体后长度变为 \(19 \text{ cm}\)，弹簧的劲度系数为______N/m。若用 \(3 \text{ N}\) 的力压缩这根弹簧，弹簧长度变为______cm。

三、计算题

13. 一辆汽车以 \(v_0 = 36 \text{ km/h}\) 的速度行驶，突然发现前方 \(50 \text{ m}\) 处有一障碍物。司机立即刹车，汽车以 \(a = 4 \text{ m/s}^2\) 的加速度做匀减速运动。

    (1) 求汽车刹车后 \(3 \text{s}\) 末的速度；

    (2) 求汽车刹车后 \(5 \text{s}\) 内的位移；

    (3) 汽车能否在障碍物前停下？

14. 一个质量为 \(m = 2 \text{ kg}\) 的物体放在倾角为 \(\theta = 30°\) 的粗糙斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数 \(\mu = 0.2\)。物体受到一个沿斜面向上的拉力 \(F = 15 \text{ N}\) 的作用。

    (1) 画出物体的受力图；

    (2) 求物体的加速度；

    (3) 若物体从斜面底端由静止开始运动，求 \(2 \text{s}\) 后物体的速度和位移。

    （取 \(g = 10 \text{ m/s}^2\)，\(\sin30° = 0.5\)，\(\cos30° \approx 0.87\)）

15. 如图所示，质量为 \(m_A = 4 \text{ kg}\) 的物体 \(A\) 放在光滑水平面上，通过轻绳经定滑轮与质量为 \(m_B = 2 \text{ kg}\) 的物体 \(B\) 相连。\(B\) 悬挂在空中。

    (1) 求系统的加速度；

    (2) 求绳的张力。

    （取 \(g = 10 \text{ m/s}^2\)，忽略滑轮和绳的质量及摩擦）

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综合练习参考答案

选择题

题号	1	2	3	4	5	6	7	8
答案	D	B	D	A	C	C	A	B

选择题解析：

1. D。物体能否看作质点取决于所研究的问题，与物体的大小、质量无直接关系。
2. B。匀变速直线运动的平均速度 \(\bar{v} = \dfrac{v_1 + v_2}{2}\)，位移 \(x = \bar{v}t = \dfrac{(v_1 + v_2)t}{2}\)。
3. D。摩擦力的方向与相对运动（或相对运动趋势）方向相反，不是与运动方向相反。
4. A。物体匀速运动时摩擦力 \(f = 10 \text{ N}\)，推力增大后 \(a = \dfrac{15 - 10}{5} = 1 \text{ m/s}^2\)。
5. C。作用力和反作用力总是同时产生、同时消失，作用在不同物体上，不能抵消。
6. C。设下落总时间为 \(t\)，总高度 \(h = \dfrac{1}{2}gt^2\)，最后 \(10 \text{m}\)：\(h - \dfrac{1}{2}g(t-1)^2 = 10\)，解得 \(t = \sqrt{11} \approx 3.32 \text{s}\)，\(h = \dfrac{1}{2} \times 10 \times 11 = 55 \text{m}\)。
7. A。匀速时 \(N = mg = 10 \text{ N}\)，\(m = 1 \text{ kg}\)。减速上升时 \(a = -2 \text{ m/s}^2\)（向上为正），\(N = m(g + a) = 1 \times (10 - 2) = 8 \text{ N}\)。
8. B。并联时 \(2kx = G\)，\(k = \dfrac{G}{2x}\)。串联时等效劲度系数 \(k' = \dfrac{k}{2} = \dfrac{G}{4x}\)，每根伸长 \(\dfrac{G}{k} = \dfrac{G}{G/(2x)} = 2x\)。

填空题

9. 最大高度 \(h = \dfrac{v_0^2}{2g} = \dfrac{400}{20} = \textbf{20} \text{m}\)；总时间 \(t = \dfrac{2v_0}{g} = \dfrac{40}{10} = \textbf{4} \text{s}\)。

10. \(f = \mu mg = 0.25 \times 4 \times 10 = 10 \text{ N}\)，\(a = \dfrac{F - f}{m} = \dfrac{15 - 10}{4} = \textbf{1.25} \text{ m/s}^2\)。

11. 第 \(3 \text{s}\) 内的位移 \(x_3 = \dfrac{1}{2}a \times 3^2 - \dfrac{1}{2}a \times 2^2 = \dfrac{1}{2}a \times 5 = 5\)，\(a = \textbf{2} \text{ m/s}^2\)。前 \(3 \text{s}\) 位移 \(x = \dfrac{1}{2} \times 2 \times 9 = \textbf{9} \text{m}\)。

12. \(k = \dfrac{2}{0.04} = \textbf{50} \text{ N/m}\)。压缩量 \(x = \dfrac{3}{50} = 0.06 \text{ m} = 6 \text{ cm}\)，弹簧长度 \(= 15 - 6 = \textbf{9} \text{cm}\)。

计算题

13. 解答：

\(v_0 = 36 \text{ km/h} = 10 \text{ m/s}\)

(1) \(v = v_0 + at = 10 + (-4) \times 3 = -2 \text{ m/s}\)

速度为负值说明汽车在 $3 \text{s}$ 前已停下。停车时间：$t_0 = \dfrac{v_0}{a} = \dfrac{10}{4} = 2.5 \text{s}$

所以 $3 \text{s}$ 末汽车已停止，速度为 $0 \text{ m/s}$。

(2) \(5 \text{s}\) 内的位移等于 \(2.5 \text{s}\) 内的位移：

$x = \dfrac{v_0^2}{2a} = \dfrac{100}{8} = 12.5 \text{ m}$

(3) 汽车在障碍物前 \(12.5 \text{ m}\) 处停下，\(12.5 \text{ m} < 50 \text{ m}\)，能在障碍物前停下。

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14. 解答：

(1) 受力图：物体受重力 \(G = mg\)（竖直向下）、支持力 \(N\)（垂直斜面向上）、拉力 \(F = 15 \text{ N}\)（沿斜面向上）、摩擦力 \(f\)（沿斜面向下，因为物体有沿斜面向上的运动趋势）。

(2) 垂直斜面方向：\(N = mg\cos\theta = 2 \times 10 \times 0.87 = 17.4 \text{ N}\)

摩擦力：$f = \mu N = 0.2 \times 17.4 = 3.48 \text{ N}$

沿斜面方向（向上为正）：$F - mg\sin\theta - f = ma$

$a = \dfrac{F - mg\sin\theta - f}{m} = \dfrac{15 - 2 \times 10 \times 0.5 - 3.48}{2} = \dfrac{15 - 10 - 3.48}{2} = \dfrac{1.52}{2} = 0.76 \text{ m/s}^2$

加速度为 $0.76 \text{ m/s}^2$，方向沿斜面向上。

(3) \(2 \text{s}\) 后：\(v = at = 0.76 \times 2 = 1.52 \text{ m/s}\)

$x = \dfrac{1}{2}at^2 = \dfrac{1}{2} \times 0.76 \times 4 = 1.52 \text{ m}$

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15. 解答：

(1) 对整体分析（\(A\) 水平方向、\(B\) 竖直方向），设加速度为 \(a\)，绳张力为内力：

$m_B g = (m_A + m_B)a$

$a = \dfrac{m_B g}{m_A + m_B} = \dfrac{2 \times 10}{4 + 2} = \dfrac{20}{6} \approx 3.33 \text{ m/s}^2$

(2) 对 \(A\) 分析（水平方向只受绳张力 \(T\)）：

$T = m_A a = 4 \times \dfrac{10}{3} = \dfrac{40}{3} \approx 13.3 \text{ N}$

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练习题参考答案

1. 第 \(3 \text{s}\) 内的位移 = 前 \(3 \text{s}\) 位移 - 前 \(2 \text{s}\) 位移

   \(x = (2 \times 3 + \dfrac{1}{2} \times 1 \times 9) - (2 \times 2 + \dfrac{1}{2} \times 1 \times 4) = 10.5 - 6 = 4.5 \text{ m}\)

2. \(h = \dfrac{1}{2}gt^2 = \dfrac{1}{2} \times 10 \times 4 = 20 \text{ m}\)

3. 停车时间 \(t = \dfrac{v_0}{a} = \dfrac{20}{4} = 5 \text{s}\)，停车距离 \(x = \dfrac{v_0^2}{2a} = \dfrac{400}{8} = 50 \text{ m}\)。汽车恰好在障碍物处停下，不能在障碍物前停下。

4. 取向上为正，\(v_0 = 10 \text{ m/s}\)，\(h = -20 \text{ m}\)（落地点在抛出点下方）

   由 \(h = v_0 t - \dfrac{1}{2}gt^2\)：\(-20 = 10t - 5t^2\)，\(t^2 - 2t - 4 = 0\)

   \(t = \dfrac{2 + \sqrt{4 + 16}}{2} = \dfrac{2 + \sqrt{20}}{2} = 1 + \sqrt{5} \approx 3.24 \text{s}\)

   \(v = v_0 - gt = 10 - 10 \times 3.24 = -22.4 \text{ m/s}\)（负号表示方向向下）

   落地速度大小约 \(22.4 \text{ m/s}\)，方向竖直向下。

5. 挂 \(1 \text{N}\) 重物时伸长 \(4 \text{cm}\)，\(k = \dfrac{1}{0.04} = 25 \text{ N/m}\)。

   长度变为 \(30 \text{cm}\) 时伸长 \(10 \text{cm}\)，需挂 \(F = kx = 25 \times 0.1 = 2.5 \text{ N}\)。

6. (a) 受弹力，支持力竖直向上。(b) 不受弹力（无挤压，不满足弹力产生条件）。(c) 受弹力，拉力沿绳竖直向上。

7. 串联时等效劲度系数 \(k' = \dfrac{k}{2}\)，悬挂同一重物总伸长 \(2x\)。并联时等效劲度系数 \(k'' = 2k\)，总伸长 \(\dfrac{x}{2}\)，每根弹簧伸长 \(\dfrac{x}{2}\)。

8. 滑动摩擦力 \(f = \mu N = 0.2 \times 50 = 10 \text{ N}\)。推力 \(15 \text{ N} > f\)，物体运动，摩擦力为 \(10 \text{ N}\)。

9. 沿斜面方向：\(mg\sin\theta = \mu mg\cos\theta\)，\(\mu = \tan\theta\)。

10. (a) ×（摩擦力可以是动力）。(b) ×（静止的物体可以受静摩擦力）。(c) ×（运动的物体不一定受摩擦力）。(d) ×（摩擦力方向与相对运动方向相反，不一定与运动方向相反）。

11. \(a = \dfrac{F}{m} = \dfrac{30}{10} = 3 \text{ m/s}^2\)，\(x = \dfrac{1}{2}at^2 = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 16 = 24 \text{ m}\)。

12. \(a = g(\sin\theta - \mu\cos\theta) = 10 \times (0.6 - 0.5 \times 0.8) = 10 \times 0.2 = 2 \text{ m/s}^2\)。

13. \(a = \dfrac{F - \mu mg}{m} = \dfrac{20 - 0.2 \times 5 \times 10}{5} = \dfrac{20 - 10}{5} = 2 \text{ m/s}^2\)。

14. 电梯减速下降，加速度向上，\(a = 3 \text{ m/s}^2\)（向上）。

    \(N = m(g + a) = 50 \times (10 + 3) = 650 \text{ N}\)（超重）

    人对电梯地板的压力为 \(650 \text{ N}\)（方向向下）。

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学习建议

1. 理解概念比记公式更重要。公式可以从概念推导出来，但不理解概念就无法灵活运用公式。

2. 受力分析是力学的核心技能。每道力学题的第一步都是正确地进行受力分析。养成画受力图的习惯，做到不遗漏、不多画。

3. 注意单位和正方向。在计算前统一单位，选定正方向后，与正方向相同的物理量取正值，相反的取负值。

4. 刹车问题要先算停车时间。这是最常见的易错点，务必牢记。

5. 多做练习，总结规律。物理学习不能只看不练，通过做题加深对概念的理解，总结解题方法和技巧。

6. 联系实际生活。力学知识无处不在——走路、骑车、投球、刹车，都可以用本教程的知识来分析。试着用物理的眼光看待生活中的现象，会让学习更加有趣。

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本教程内容到此结束。建议同学们在学习过程中，先通读全文了解整体框架，再逐章精读并完成练习题，最后通过综合练习检验学习效果。祝学习进步！