六年级数学上册教程——分数乘除法与百分数

前言

本教程专为六年级学生及其家长编写，系统梳理六年级上册数学的核心学习内容。六年级上册是小学数学学习的收官阶段，分数乘除法和百分数是本学期的重中之重，它们在日常生活和后续数学学习中都有广泛应用。此外，圆的认识、比的学习也是本学期的重要内容。

本教程对每个知识点都进行了详细讲解，配有典型例题和丰富的练习题，帮助同学们扎实掌握这些核心知识，为小升初考试打下坚实基础。

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第一章 分数乘法

1.1 核心概念

分数乘法包括：分数乘整数、分数乘分数、分数乘小数，以及分数乘法的简便运算。分数乘法的意义与整数乘法相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。

1.2 详细讲解

一、分数乘整数

意义： 求几个相同分数的和是多少。

计算方法： 分子乘以整数作为新的分子，分母不变。

公式： \(\frac{a}{b} \times n = \frac{a \times n}{b}\)

示例： \(\frac{2}{5} \times 3 = \frac{2 \times 3}{5} = \frac{6}{5}\)

注意事项：

• 能约分的先约分再计算，结果更简洁
• 计算结果如果是假分数，要化成带分数

先约分再计算的示例： \(\frac{3}{8} \times 4 = \frac{3 \times 4}{8} = \frac{3 \times 1}{2} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}\)

二、分数乘分数

意义： 求一个数的几分之几是多少。

计算方法： 分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母。

公式： \(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\)

示例： \(\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2 \times 3}{3 \times 4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\)

先约分再计算： \(\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2 \times 1}{1 \times 4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

（先将第一个分数的分子2与第二个分数的分母4约分，再将第一个分数的分母3与第二个分数的分子3约分）

三、分数乘小数

方法一： 把小数化成分数，再按分数乘法计算。 \(0.5 \times \frac{2}{3} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\)

方法二： 把分数化成小数，再按小数乘法计算。 \(0.5 \times \frac{2}{3} = 0.5 \times 0.666\ldots\) （当分数不能化成有限小数时，此方法不适用）

方法三： 直接用小数和分数的分子相乘。 \(0.5 \times \frac{2}{3} = \frac{0.5 \times 2}{3} = \frac{1}{3}\)

四、分数乘法的意义

"一个数的几分之几是多少"的应用：

例如：小明有12支铅笔，用去了 \(\frac{1}{4}\)，用去了多少支？

列式：\(12 \times \frac{1}{4} = 3\)（支）

理解要点：

• \(\frac{1}{4}\) 表示把12支铅笔平均分成4份，取其中1份
• "的"字相当于"×"
• "几分之几"就是求一个数的一部分是多少

五、分数乘法的运算定律

分数乘法同样适用整数乘法的运算定律：

交换律： \(a \times b = b \times a\) \(\frac{2}{3} \times \frac{5}{7} = \frac{5}{7} \times \frac{2}{3}\)

结合律： \((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\) \(\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} = \frac{2}{5} \times \frac{5}{6} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\)

分配律： \((a + b) \times c = a \times c + b \times c\) \(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) \times 6 = \frac{1}{2} \times 6 + \frac{1}{3} \times 6 = 3 + 2 = 5\)

六、倒数

定义： 乘积是1的两个数互为倒数。

求倒数的方法： 把分子和分母交换位置。

• \(\frac{3}{5}\) 的倒数是 \(\frac{5}{3}\)
• \(2\) 的倒数是 \(\frac{1}{2}\)
• \(1\) 的倒数是 \(1\)
• \(0\) 没有倒数（因为0乘以任何数都不等于1）

1.3 典型例题

例题1： 计算 \(\frac{3}{8} \times \frac{4}{9}\)

解题过程： \(\frac{3}{8} \times \frac{4}{9} = \frac{3 \times 4}{8 \times 9} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}\)

先约分再计算： \(\frac{3}{8} \times \frac{4}{9} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\)

例题2： 一桶油重20千克，用去了 \(\frac{3}{5}\)，用去了多少千克？

解题过程： \(20 \times \frac{3}{5} = \frac{20 \times 3}{5} = \frac{60}{5} = 12 \text{（千克）}\)

答：用去了12千克。

例题3： 计算 \(\left(\frac{1}{4} + \frac{2}{3}\right) \times 12\)

解题过程： \(\left(\frac{1}{4} + \frac{2}{3}\right) \times 12 = \frac{1}{4} \times 12 + \frac{2}{3} \times 12 = 3 + 8 = 11\)

1.4 练习题

1. 计算：$\frac{2}{7} \times 3 = $ ______
2. 计算：$\frac{5}{6} \times \frac{3}{10} = $ ______
3. 计算：$\frac{7}{8} \times \frac{4}{21} = $ ______
4. 计算：$0.6 \times \frac{5}{9} = $ ______
5. 计算：$\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) \times 24 = $ ______
6. 一本书共180页，小明第一天看了全书的 \(\frac{1}{6}\)，第一天看了多少页？
7. 一根绳子长24米，用去了 \(\frac{3}{8}\)，用去了多少米？还剩多少米？
8. 一个果园有苹果树200棵，梨树的棵数是苹果树的 \(\frac{4}{5}\)，梨树有多少棵？
9. 求下列各数的倒数：\(\frac{7}{3}\)、\(5\)、\(\frac{1}{8}\)、\(1.5\)
10. 简便计算：\(\frac{5}{9} \times \frac{3}{7} \times \frac{9}{5}\)

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第二章 分数除法

2.1 核心概念

分数除法是分数乘法的逆运算。掌握分数除法的关键是理解"除以一个数等于乘以这个数的倒数"。分数除法在解决"已知一个数的几分之几是多少，求这个数"的问题中非常重要。

2.2 详细讲解

一、分数除以整数

意义： 把一个数平均分成几份，求每份是多少。

计算方法： 分数除以整数（0除外），等于乘以这个整数的倒数。

公式： \(\frac{a}{b} \div n = \frac{a}{b} \times \frac{1}{n}\)

示例： \(\frac{3}{4} \div 3 = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4}\)

二、分数除以分数

计算方法： 甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。

公式： \(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}\)

示例： \(\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}\)

三、整数除以分数

计算方法： 整数除以分数，等于整数乘以分数的倒数。

示例： \(6 \div \frac{2}{3} = 6 \times \frac{3}{2} = 9\)

四、分数除法的应用

"已知一个数的几分之几是多少，求这个数"：

解题方法：设这个数为x，根据"一个数 × 几分之几 = 已知数"列方程。

或者直接用除法：已知数 ÷ 几分之几 = 这个数

示例： 一本书看了60页，正好看了全书的 \(\frac{2}{5}\)，这本书共有多少页？

方法一（方程法）： 设这本书共有x页。 \(x \times \frac{2}{5} = 60\) \(x = 60 \div \frac{2}{5} = 60 \times \frac{5}{2} = 150 \text{（页）}\)

方法二（算术法）： \(60 \div \frac{2}{5} = 60 \times \frac{5}{2} = 150 \text{（页）}\)

五、分数乘除法的对比

类型	意义	计算方法
分数乘法	求一个数的几分之几是多少	分子乘分子，分母乘分母
分数除法	已知一个数的几分之几是多少，求这个数	乘以除数的倒数

关键区分：

• 看到"是""占""相当于"后面的量是已知的 → 用乘法
• 看到"是""占""相当于"后面的量是未知的 → 用除法（或列方程）

六、分数四则混合运算

运算顺序与整数四则混合运算相同：

1. 先算乘除，后算加减
2. 有括号的先算括号里的
3. 同级运算从左到右依次计算

示例： \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \div \frac{2}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\)

2.3 典型例题

例题1： 计算 \(\frac{5}{8} \div \frac{5}{12}\)

解题过程： \(\frac{5}{8} \div \frac{5}{12} = \frac{5}{8} \times \frac{12}{5} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{1} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}\)

例题2： 小明看了一本书的 \(\frac{3}{7}\)，正好是90页，这本书共有多少页？

解题过程： \(90 \div \frac{3}{7} = 90 \times \frac{7}{3} = 210 \text{（页）}\)

答：这本书共有210页。

例题3： 修路队修一条公路，第一天修了全长的 \(\frac{1}{4}\)，第二天修了全长的 \(\frac{1}{3}\)，两天共修了350米，这条公路全长多少米？

解题过程： 设全长为x米。 \(x \times \frac{1}{4} + x \times \frac{1}{3} = 350\) \(x \times \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{3}\right) = 350\) \(x \times \frac{7}{12} = 350\) \(x = 350 \div \frac{7}{12} = 350 \times \frac{12}{7} = 600 \text{（米）}\)

答：这条公路全长600米。

2.4 练习题

1. 计算：$\frac{3}{5} \div 6 = $ ______
2. 计算：$\frac{7}{8} \div \frac{7}{12} = $ ______
3. 计算：$12 \div \frac{3}{4} = $ ______
4. 计算：$\frac{2}{3} \div \frac{4}{9} = $ ______
5. 一个数的 \(\frac{3}{5}\) 是24，这个数是多少？
6. 果园里有桃树120棵，桃树的棵数是梨树的 \(\frac{3}{4}\)，梨树有多少棵？
7. 一根电线用去了 \(\frac{2}{5}\)，还剩24米，这根电线原来有多少米？
8. 小红读一本书，第一天读了全书的 \(\frac{1}{5}\)，第二天读了全书的 \(\frac{1}{4}\)，两天共读了90页，这本书共有多少页？
9. 计算：$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \div \frac{3}{8} = $ ______
10. 甲数的 \(\frac{2}{3}\) 等于乙数的 \(\frac{3}{4}\)，甲数是36，乙数是多少？

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第三章 百分数

3.1 核心概念

百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数，也叫百分率或百分比。百分数在生活中的应用非常广泛，如打折、利率、增长率、合格率等。本章要求同学们理解百分数的意义，掌握百分数与分数、小数的互化，以及百分数的实际应用。

3.2 详细讲解

一、百分数的意义

百分数表示一个数是另一个数的百分之几。例如：

• 出勤率98%表示出勤的人数占总人数的 \(\frac{98}{100}\)
• 含糖量15%表示糖的重量占总重量的 \(\frac{15}{100}\)

百分数与分数的区别： | | 百分数 | 分数 | |---|--------|------| | 意义 | 只表示两个数之间的倍比关系 | 既可以表示倍比关系，也可以表示具体的量 | | 分母 | 固定为100 | 可以是任意自然数 | | 能否带单位 | 不能 | 可以（表示具体量时） | | 读法 | 百分之几 | 几分之几 |

二、百分数与小数的互化

百分数 → 小数： 去掉百分号，小数点向左移动两位

• 75% = 0.75
• 6.5% = 0.065
• 200% = 2.00 = 2

小数 → 百分数： 小数点向右移动两位，添上百分号

• 0.45 = 45%
• 0.08 = 8%
• 1.5 = 150%

三、百分数与分数的互化

百分数 → 分数： 写成分母是100的分数，再约分

• 60% = \(\frac{60}{100}\) = \(\frac{3}{5}\)
• 25% = \(\frac{25}{100}\) = \(\frac{1}{4}\)

分数 → 百分数： 先把分数化成小数，再化成百分数

• \(\frac{3}{8}\) = 0.375 = 37.5%
• \(\frac{2}{3}\) ≈ 0.667 = 66.7%

常用百分数与分数的对照： | 百分数 | 分数 | |--------|------| | 50% | \(\frac{1}{2}\) | | 25% | \(\frac{1}{4}\) | | 75% | \(\frac{3}{4}\) | | 20% | \(\frac{1}{5}\) | | 10% | \(\frac{1}{10}\) | | 12.5% | \(\frac{1}{8}\) |

四、百分数的应用

（一）求一个数是另一个数的百分之几

方法：用除法计算，再化成百分数。

公式：\(甲是乙的百分之几 = 甲 \div 乙 \times 100\%\)

示例：一班有48人，今天到了46人，出勤率是多少？ \(46 \div 48 \times 100\% ≈ 95.8\%\)

（二）求一个数的百分之几是多少

方法：用乘法计算。

公式：\(一个数 \times 百分之几 = 结果\)

示例：一件衣服原价200元，打八折出售，现价多少元？ \(200 \times 80\% = 200 \times 0.8 = 160 \text{（元）}\)

（三）已知一个数的百分之几是多少，求这个数

方法：用除法计算（或列方程）。

公式：\(已知数 \div 百分之几 = 这个数\)

示例：某商品打九折后售价是180元，原价是多少元？ \(180 \div 90\% = 180 \div 0.9 = 200 \text{（元）}\)

（四）折扣问题

• 几折就是原价的百分之几十
• 八折 = 原价的80%
• 七五折 = 原价的75%

（五）利率问题

• 利息 = 本金 × 利率 × 时间
• 税后利息 = 利息 × (1 - 税率)（如需缴税）

（六）增长率/降低率问题

• 增长后的量 = 原来的量 × (1 + 增长率)
• 降低后的量 = 原来的量 × (1 - 降低率)

五、百分数应用题的解题步骤

1. 审题：找出已知条件和所求问题
2. 找单位"1"：确定谁是单位"1"（"是""占""相当于"后面的量通常是单位"1"）
3. 判断方法：单位"1"已知用乘法，单位"1"未知用除法
4. 列式计算
5. 检验答案

3.3 典型例题

例题1： 某班有50人，今天缺勤2人，求出勤率。

解题过程： 出勤人数 = 50 - 2 = 48（人） \(出勤率 = \frac{48}{50} \times 100\% = 96\%\)

答：出勤率是96%。

例题2： 一件衣服原价250元，现在打七折出售，便宜了多少钱？

解题过程： 现价 = \(250 \times 70\% = 250 \times 0.7 = 175\)（元） 便宜了 = \(250 - 175 = 75\)（元）

或者直接算：\(250 \times (1 - 70\%) = 250 \times 30\% = 75\)（元）

答：便宜了75元。

例题3： 小明把5000元存入银行，定期三年，年利率为2.75%，到期时他可以获得多少利息？

解题过程： \(利息 = 本金 \times 利率 \times 时间 = 5000 \times 2.75\% \times 3 = 5000 \times 0.0275 \times 3 = 412.5 \text{（元）}\)

答：到期时可以获得412.5元利息。

例题4： 某工厂去年生产产品1200件，今年比去年增产了15%，今年生产了多少件？

解题过程： \(今年产量 = 1200 \times (1 + 15\%) = 1200 \times 1.15 = 1380 \text{（件）}\)

答：今年生产了1380件。

3.4 练习题

1. 把下面的百分数化成小数：36%、0.8%、150%
2. 把下面的小数化成百分数：0.75、0.04、1.2
3. 把下面的分数化成百分数：\(\frac{3}{5}\)、\(\frac{7}{8}\)、\(\frac{5}{6}\)
4. 某次考试，全班50人中有45人及格，及格率是多少？
5. 一件商品原价360元，现在打八五折出售，现价是多少元？
6. 一台电视机原价4000元，降价20%后售价是多少元？
7. 小华把2000元存入银行，定期两年，年利率为2.25%，到期后可得利息多少元？
8. 某果园今年产苹果800千克，比去年增产了25%，去年产苹果多少千克？
9. 一种商品先提价10%，再降价10%，现价与原价相比是涨了还是降了？变化了多少？
10. 甲数是乙数的80%，乙数比甲数多百分之几？

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第四章 圆的周长和面积

4.1 核心概念

圆是小学阶段学习的最后一种平面图形。本章要求同学们认识圆的各部分名称，理解圆周率的意义，掌握圆的周长和面积的计算公式，并能运用公式解决实际问题。

4.2 详细讲解

一、圆的认识

圆的各部分名称：

• 圆心（O）：圆的中心点，用字母O表示
• 半径（r）：从圆心到圆上任意一点的线段，用字母r表示
• 直径（d）：通过圆心并且两端都在圆上的线段，用字母d表示

重要关系：

• 在同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等
• 直径是半径的2倍：\(d = 2r\) 或 \(r = \frac{d}{2}\)
• 圆是轴对称图形，有无数条对称轴

圆的画法：

1. 确定圆心的位置
2. 确定半径的长度
3. 把圆规的两脚分开，距离等于半径
4. 把有针尖的一脚固定在圆心上，有铅笔的一脚旋转一圈

二、圆的周长

定义： 围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。

圆周率（π）：

• 圆的周长与直径的比值是一个固定的数，叫做圆周率
• 圆周率用希腊字母π表示
• π ≈ 3.14159265……
• π是一个无限不循环小数
• 计算时通常取 π ≈ 3.14

周长公式： \(C = \pi d = 2\pi r\)

其中C表示周长，d表示直径，r表示半径。

示例： 一个圆的半径是5厘米，求它的周长。 \(C = 2\pi r = 2 \times 3.14 \times 5 = 31.4 \text{（厘米）}\)

三、圆的面积

定义： 圆所占平面的大小叫做圆的面积。

面积公式推导： 把圆分成若干等份，拼成一个近似的长方形：

• 长方形的长 = 圆周长的一半 = \(\pi r\)
• 长方形的宽 = 圆的半径 = \(r\)
• 长方形的面积 = 长 × 宽 = \(\pi r \times r = \pi r^2\)

所以圆的面积公式为： \(S = \pi r^2\)

示例： 一个圆的半径是4厘米，求它的面积。 \(S = \pi r^2 = 3.14 \times 4^2 = 3.14 \times 16 = 50.24 \text{（平方厘米）}\)

四、圆环的面积

定义： 两个半径不相等的同心圆之间的部分叫做圆环。

面积公式： \(S_{环} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2)\)

其中R是外圆半径，r是内圆半径。

示例： 一个圆环，外圆半径是6厘米，内圆半径是4厘米，求圆环的面积。 \(S_{环} = \pi (R^2 - r^2) = 3.14 \times (6^2 - 4^2) = 3.14 \times (36 - 16) = 3.14 \times 20 = 62.8 \text{（平方厘米）}\)

五、半圆的周长和面积

半圆的周长： 半圆的周长 = 圆周长的一半 + 直径 \(C_{半圆} = \pi r + 2r = r(\pi + 2)\)

注意：半圆的周长不等于圆周长的一半！

半圆的面积： \(S_{半圆} = \frac{\pi r^2}{2}\)

六、常见易错点

1. 周长和面积的单位不同：周长用长度单位（厘米、米），面积用面积单位（平方厘米、平方米）
2. 半圆周长不是圆周长的一半：半圆周长还要加上一条直径
3. \(r^2\) 不等于 \(2r\)：\(r^2 = r \times r\)，\(2r = r + r\)
4. 已知直径求面积：要先用 \(r = d \div 2\) 求出半径

4.3 典型例题

例题1： 一个圆形花坛的直径是10米，求它的周长和面积。

解题过程：

• 半径：\(r = 10 \div 2 = 5\)（米）
• 周长：\(C = \pi d = 3.14 \times 10 = 31.4\)（米）
• 面积：\(S = \pi r^2 = 3.14 \times 5^2 = 3.14 \times 25 = 78.5\)（平方米）

答：花坛的周长是31.4米，面积是78.5平方米。

例题2： 一根铁丝长62.8厘米，把它围成一个圆，这个圆的面积是多少？

解题过程： 铁丝的长度就是圆的周长。

• 由 \(C = 2\pi r\) 得：\(r = C \div (2\pi) = 62.8 \div (2 \times 3.14) = 62.8 \div 6.28 = 10\)（厘米）
• 面积：\(S = \pi r^2 = 3.14 \times 10^2 = 3.14 \times 100 = 314\)（平方厘米）

答：这个圆的面积是314平方厘米。

例题3： 在一个边长为10厘米的正方形中画一个最大的圆，求这个圆的面积。

解题过程： 正方形中最大的圆的直径等于正方形的边长。

• 直径 = 10厘米，半径 = 5厘米
• 面积：\(S = \pi r^2 = 3.14 \times 5^2 = 3.14 \times 25 = 78.5\)（平方厘米）

答：这个圆的面积是78.5平方厘米。

4.4 练习题

1. 一个圆的半径是3厘米，求它的周长和面积。
2. 一个圆的周长是18.84厘米，求它的半径和面积。
3. 一个圆形水池的直径是8米，在水池周围修一条1米宽的小路，求小路的面积。
4. 一个半圆的半径是5厘米，求它的周长和面积。
5. 一根绳子长94.2米，正好可以绕一棵大树的树干10圈，这棵大树树干的直径约是多少米？
6. 在一个长10厘米、宽6厘米的长方形中画一个最大的圆，这个圆的面积是多少？
7. 一个圆环的外圆半径是8厘米，内圆半径是6厘米，求圆环的面积。
8. 一个圆形草坪的面积是28.26平方米，求它的半径。
9. 小明沿一个圆形跑道跑了一圈，共跑了314米，这个跑道的直径是多少米？
10. 把一个圆分成若干等份后拼成一个近似的长方形，长方形的长是12.56厘米，求原来圆的面积。

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第五章 比的认识

5.1 核心概念

比是两个数相除的一种表示方式。学习比有助于理解比例、百分数等概念，也在实际生活中有广泛应用，如按比例分配、比例尺等。

5.2 详细讲解

一、比的意义和读写法

意义： 两个数相除又叫做两个数的比。

写法： \(a : b\) 或 \(\frac{a}{b}\)（b ≠ 0）

读法： \(a : b\) 读作"a比b"

各部分名称：

• ":"是比号
• 比号前面的数叫做比的前项
• 比号后面的数叫做比的后项
• 比的前项除以后项所得的商叫做比值

示例： \(3 : 5 = 3 \div 5 = 0.6\)（或 \(\frac{3}{5}\)）

二、比与除法、分数的关系

比	除法	分数
前项	被除数	分子
比号(:)	除号(÷)	分数线(—)
后项	除数	分母
比值	商	分数值

注意： 比的后项不能为0（与除数、分母不能为0同理）。

三、比的基本性质

性质： 比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。

这与分数的基本性质和商不变的规律是一致的。

化简比： 利用比的基本性质，把比化成最简整数比（前项和后项是互质的整数）。

化简比的方法：

• 整数比：前项和后项同时除以它们的最大公因数
• 分数比：前项和后项同时乘以分母的最小公倍数
• 小数比：前项和后项同时乘以10、100等，化成整数比后再化简

示例：

• \(12 : 18 = 2 : 3\)（同时除以6）
• \(\frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times 15 : \frac{4}{5} \times 15 = 10 : 12 = 5 : 6\)
• \(0.6 : 0.8 = 6 : 8 = 3 : 4\)

四、比的应用——按比例分配

问题类型： 把一个总量按照一定的比例分配成几部分。

解题步骤：

1. 求出总份数
2. 求出各部分占总量的几分之几
3. 用总量乘以各部分的分率

示例： 把120个苹果按 \(2 : 3 : 5\) 分给甲、乙、丙三人，各分多少个？

总份数 = \(2 + 3 + 5 = 10\)

• 甲：\(120 \times \frac{2}{10} = 24\)（个）
• 乙：\(120 \times \frac{3}{10} = 36\)（个）
• 丙：\(120 \times \frac{5}{10} = 60\)（个）

验证：\(24 + 36 + 60 = 120\) ✓，\(24 : 36 : 60 = 2 : 3 : 5\) ✓

五、比例尺

定义： 图上距离与实际距离的比叫做比例尺。

公式： \(比例尺 = \frac{图上距离}{实际距离}\)

分类：

• 数值比例尺：如 \(1 : 1000000\)，表示图上1厘米代表实际1000000厘米（10千米）
• 线段比例尺：用线段表示图上1厘米代表实际多少距离

示例： 在一幅地图上，图上距离3厘米代表实际距离60千米，求这幅地图的比例尺。

\(比例尺 = \frac{3 \text{厘米}}{60 \text{千米}} = \frac{3 \text{厘米}}{6000000 \text{厘米}} = \frac{1}{2000000}\)

即比例尺为 \(1 : 2000000\)。

5.3 典型例题

例题1： 化简比 \(0.75 : 1.2\)

解题过程： \(0.75 : 1.2 = 75 : 120 = 5 : 8\)

（先同时乘以100化成整数比，再同时除以15）

例题2： 一个三角形三个内角的度数比是 \(1 : 2 : 3\)，求每个角的度数。

解题过程： 三角形内角和 = 180° 总份数 = \(1 + 2 + 3 = 6\)

• 第一个角：\(180° \times \frac{1}{6} = 30°\)
• 第二个角：\(180° \times \frac{2}{6} = 60°\)
• 第三个角：\(180° \times \frac{3}{6} = 90°\)

验证：\(30° + 60° + 90° = 180°\) ✓

答：三个角分别是30°、60°、90°。

例题3： 在比例尺为 \(1 : 5000000\) 的地图上，两地之间的图上距离是4厘米，实际距离是多少千米？

解题过程： \(实际距离 = 图上距离 \div 比例尺 = 4 \div \frac{1}{5000000} = 4 \times 5000000 = 20000000 \text{（厘米）}\)

\(20000000 \text{厘米} = 200 \text{千米}\)

答：实际距离是200千米。

5.4 练习题

1. 化简比：$24 : 36 = $ ______
2. 化简比：$0.4 : 0.25 = $ ______
3. 化简比：$\frac{3}{4} : \frac{5}{6} = $ ______
4. 求比值：$1.5 : 0.6 = $ ______
5. 把60按 \(3 : 2\) 分成两部分，各是多少？
6. 一个长方形的长与宽的比是 \(5 : 3\)，周长是48厘米，求长和宽各是多少。
7. 配制一种盐水，盐和水的比是 \(1 : 20\)，要配制420克盐水，需要盐和水各多少克？
8. 在比例尺为 \(1 : 200000\) 的地图上，两地相距5厘米，实际距离是多少千米？
9. 甲、乙两个数的比是 \(3 : 5\)，它们的和是40，求甲、乙各是多少。
10. 一种药水是用药粉和水按 \(1 : 100\) 配成的，要配制这种药水505千克，需要药粉和水各多少千克？

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综合练习题

一、填空题（每题2分，共20分）

1. $\frac{3}{5} \times \frac{5}{9} = $ ______
2. $\frac{7}{8} \div \frac{7}{12} = $ ______
3. 12的 \(\frac{3}{4}\) 是（ ）；（ ）的 \(\frac{3}{4}\) 是12。
4. 45% = （ ）（小数）=（ ）（分数）
5. 一个圆的半径是3厘米，周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。
6. 把 \(0.6 : 0.8\) 化成最简整数比是（ ），比值是（ ）。
7. 在比例尺为 \(1 : 500000\) 的地图上，图上2厘米代表实际（ ）千米。
8. \(\frac{2}{5}\) 的倒数是（ ）；（ ）的倒数是它本身。
9. 六（1）班今天出勤48人，请假2人，出勤率是（ ）%。
10. 甲数是乙数的 \(\frac{4}{5}\)，乙数比甲数多（ ）%。

二、计算题（每题3分，共18分）

1. $\frac{5}{6} \times \frac{3}{10} = $
2. $\frac{8}{9} \div \frac{4}{3} = $
3. $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} \div \frac{1}{3} = $
4. $\frac{2}{3} \times \frac{5}{8} + \frac{1}{4} = $
5. $12 \times \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) = $
6. $\frac{3}{5} \div \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}\right) = $

三、应用题（每题6分，共36分）

1. 一本书共240页，小明第一天看了全书的 \(\frac{1}{6}\)，第二天看了全书的 \(\frac{1}{4}\)，两天共看了多少页？
2. 一件衣服原价280元，现在打七五折出售，现价是多少元？便宜了多少元？
3. 一个圆形花坛的直径是14米，在花坛周围修一条宽1米的环形小路，求小路的面积。
4. 把180个苹果按 \(2 : 3 : 4\) 分给甲、乙、丙三人，各分多少个？
5. 某工厂今年产值是500万元，比去年增长了25%，去年的产值是多少万元？
6. 在比例尺为 \(1 : 4000000\) 的地图上，甲乙两城相距7.5厘米，甲乙两城的实际距离是多少千米？

四、综合题（每题8分，共16分）

1. 一个圆形水池的周长是62.8米，在水池的周围修一条宽2米的环形小路。

   • （1）求水池的半径。
   • （2）求小路的面积。
   • （3）如果在小路上铺地砖，每平方米需要地砖25块，一共需要多少块地砖？

2. 某商店同时卖出两件商品，每件售价都是120元。其中一件赚了20%，另一件亏了20%。

   • （1）分别求出两件商品的进价。
   • （2）这个商店卖出这两件商品后是赚了还是亏了？赚或亏了多少元？

五、思考题（10分）

甲、乙两个仓库共有货物若干吨。从甲仓库运出货物总量的 \(\frac{2}{5}\)，从乙仓库运出货物总量的 \(\frac{1}{3}\) 后，两个仓库剩余的货物一样多。已知甲仓库原有货物60吨，乙仓库原有货物多少吨？

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学习方法建议

一、计算能力的培养

1. 掌握算理：理解分数乘除法的算理比死记硬背更重要。分数除法的"颠倒相乘"要理解为什么要这样做。

2. 先约分再计算：养成先约分再计算的习惯，可以减少计算量，降低出错率。

3. 每天练习：每天花15-20分钟做分数和百分数的计算题，提高计算速度和准确率。

4. 巧用运算定律：在计算中灵活运用交换律、结合律和分配律，可以使计算更简便。

二、应用题的解题方法

1. 认真审题：读题时要注意关键信息，特别是"是""占""相当于""比"等词语。

2. 找单位"1"：分数和百分数应用题的关键是找准单位"1"。单位"1"已知用乘法，未知用除法。

3. 画线段图：对于较复杂的应用题，画线段图可以帮助理清数量关系。

4. 检验答案：做完后把答案代入原题检验，看是否符合题意。

5. 举一反三：做完一道题后想一想，如果条件变了，该怎么做？

三、几何知识的学习

1. 理解公式推导：不要死记硬背圆的面积公式，要理解推导过程，这样即使忘记了公式也能推导出来。

2. 动手操作：用圆规画圆，用剪拼法推导面积公式，动手操作能加深理解。

3. 注意单位：周长用长度单位，面积用面积单位，计算时要注意单位的统一。

4. 多画图：遇到几何问题先画图，标注已知条件，有助于分析问题。

四、比和比例的学习

1. 理解比的意义：比是两个数相除的关系，与分数、除法有密切联系。

2. 掌握化简比的方法：整数比、分数比、小数比的化简方法要熟练掌握。

3. 按比例分配的步骤：求总份数→求各部分占总量的分率→用乘法计算。

4. 比例尺的换算：注意图上距离和实际距离的单位要统一。

五、学习习惯的养成

1. 错题本：准备一个错题本，把做错的题目记下来，定期复习。分析错误原因，避免重复犯错。

2. 预习复习：课前预习新知识，课后及时复习巩固，做到"日日清"。

3. 整理知识：学完一个单元后，画思维导图整理知识点，形成知识网络。

4. 合理安排时间：制定学习计划，合理分配各科学习时间，做到劳逸结合。

5. 积极提问：遇到不懂的问题及时向老师或同学请教，不要积累问题。

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总结

六年级上册数学的学习内容在小学阶段具有重要地位，核心知识包括：

• 分数乘法：理解分数乘法的意义，掌握计算方法，能解决"求一个数的几分之几是多少"的问题。

• 分数除法：掌握"除以一个数等于乘以这个数的倒数"的计算法则，能解决"已知一个数的几分之几是多少，求这个数"的问题。

• 百分数：理解百分数的意义，掌握百分数与分数、小数的互化，能解决折扣、利率、增长率等实际问题。

• 圆的周长和面积：掌握圆的周长和面积公式，能运用公式解决实际问题。

• 比的认识：理解比的意义和基本性质，能化简比和求比值，掌握按比例分配和比例尺的应用。

数学学习需要理解概念、掌握方法、勤加练习。希望同学们通过本教程的学习，能够系统掌握这些核心知识，在数学学习中取得优异成绩！

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本教程为原创内容，适用于六年级上学期数学学习。建议配合课本使用，有疑问时及时向老师请教。