四年级数学上册教程——大数的认识与三位数乘两位数

前言

本教程专为四年级上学期的学生和家长编写，系统梳理本学期数学课程的核心知识点。四年级上册是小学数学的重要阶段，学生将从万以内的数扩展到亿以内的大数，学习三位数乘两位数的计算方法，认识更大的面积单位公顷和平方千米，深入学习角的度量，以及认识平行四边形和梯形等几何图形。

本教程涵盖以下主要内容：

• 大数的认识：认识亿以内及亿以上的数，学会读写、改写和求近似数
• 三位数乘两位数：掌握笔算方法，理解积的变化规律
• 公顷和平方千米：认识更大的面积单位及换算
• 角的度量：学会用量角器量角和画角，认识各种角
• 平行四边形和梯形：认识特征，理解平行与垂直的概念

每个章节都配有核心概念讲解、典型例题和练习题，帮助同学们系统掌握知识。

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第一章 大数的认识

1.1 核心概念

计数单位：个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……每相邻两个计数单位之间的进率都是10。

数位顺序表：

| 亿位 | 千万位 | 百万位 | 十万位 | 万位 | 千位 | 百位 | 十位 | 个位 |

数级：按照我国的计数习惯，每四个数位为一级：

• 个级：个位、十位、百位、千位
• 万级：万位、十万位、百万位、千万位
• 亿级：亿位、十亿位、百亿位、千亿位

大数的读法、写法、改写和近似数是本章的核心内容。

1.2 详细讲解

（一）亿以内数的读法

1. 先读万级，再读个级。
2. 万级的读法和个级一样，读完后加一个"万"字。
3. 每级末尾的0不读，中间有一个或连续几个0只读一个"零"。

例如：

• 35002000 读作：三千五百万二千（万级读"三千五百万"，个级读"二千"）
• 30500200 读作：三千零五十万零二百（万级中间的0读一个"零"，个级前面的0也读一个"零"）

（二）亿以内数的写法

1. 先写万级，再写个级。
2. 哪个数位上是几就写几，哪个数位上一个也没有就写0。

例如：五千零三万零二十 写作：50030020

（三）亿以上数的读写

读写方法与亿以内的数类似，只是多了"亿级"。

例如：5060000000 读作：五十亿六千万

（四）数的改写

把整万或整亿的数改写成用"万"或"亿"作单位的数：

• 去掉末尾的4个0，加"万"字
• 去掉末尾的8个0，加"亿"字

例如：250000 = 25万；3000000000 = 30亿

（五）求近似数（四舍五入法）

省略万位或亿位后面的尾数，求近似数：

• 看省略部分最高位上的数字
• 如果是4或比4小，就舍去（四舍）
• 如果是5或比5大，就向前一位进一（五入）

例如：356780 ≈ 36万（千位是6，五入）；42300 ≈ 4万（千位是2，四舍）

（六）数的大小比较

1. 位数不同：位数多的数大
2. 位数相同：从最高位开始比较，依次类推

1.3 典型例题

例1：读出下面各数。

（1）3050600800

（2）700002000

解：

（1）先分级：30|5060|0800

读作：三十亿五千零六十万零八百

（2）先分级：7|0000|2000

读作：七亿零二千

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例2：写出下面各数。

（1）八千零五十万零三百

（2）三亿零四百万

解：

（1）80500300

（2）304000000

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例3：把下面的数改写成用"万"或"亿"作单位的数，并求近似数。

（1）45600000 = ______万 ≈ ______万

（2）28700000000 = ______亿 ≈ ______亿

解：

（1）45600000 = 4560万 ≈ 4560万（已经是整万数，不需要近似）

（2）28700000000 = 287亿 ≈ 287亿（已经是整亿数）

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例4：□里可以填哪些数字？

3□456 ≈ 4万

解：要约等于4万，千位上的数必须≥5，所以□里可以填5、6、7、8、9。

1.4 练习题

1. 读出下面各数。

   • 45006000 读作：______
   • 100200300 读作：______
   • 6050000000 读作：______

2. 写出下面各数。

   • 九千零五万零二十：______
   • 四十亿三千万零六百：______

3. 填空。

   • 10个一万是______，10个一百万是______，10个一亿是______。
   • 一个数的最高位是亿位，这个数是______位数。
   • 3500000000 = ______亿
   • 6080000 = ______万

4. 四舍五入到万位。

   • 56780 ≈ ______万
   • 34200 ≈ ______万
   • 998500 ≈ ______万

5. 比较大小。

   • 45000000 ○ 4500万
   • 80700000000 ○ 807亿

6. □里最大能填几？

   • 5□999 ≈ 5万
   • 7□5000000 ≈ 8亿

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第二章 三位数乘两位数

2.1 核心概念

三位数乘两位数的笔算方法：先用两位数个位上的数去乘三位数，再用两位数十位上的数去乘三位数，最后把两次乘得的积加起来。

因数末尾有0的简便算法：先把0前面的数相乘，再看两个因数末尾一共有几个0，就在积的末尾添几个0。

积的变化规律：

• 一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几。
• 一个因数不变，另一个因数除以几，积也除以几。

2.2 详细讲解

（一）三位数乘两位数的笔算

以 145 × 12 为例：

      1 4 5
    ×   1 2
   ---------
      2 9 0   ← 145 × 2（用个位上的2去乘145）
    1 4 5     ← 145 × 10（用十位上的1去乘145，末尾对齐十位）
   ---------
    1 7 4 0

步骤：

1. 先用12个位上的2去乘145，得290
2. 再用12十位上的1去乘145，得145个十，即1450，末尾对齐十位写
3. 把两次的积相加：290 + 1450 = 1740

（二）因数末尾有0的简便算法

以 230 × 30 为例：

方法：先把0前面的数23×3=69，再看因数末尾一共有2个0，在积的末尾添2个0。

230 × 30 = 6900

竖式简便写法：

      2 3 0
    ×   3 0
   ---------
    6 9 0 0

（三）因数中间有0的乘法

以 203 × 42 为例：

      2 0 3
    ×   4 2
   ---------
      4 0 6   ← 203 × 2
    8 1 2     ← 203 × 40
   ---------
    8 5 2 6

（四）积的变化规律

规律一：一个因数不变，另一个因数乘（或除以）一个数（0除外），积也乘（或除以）这个数。

例如：12 × 5 = 60

• 12 × 10 = 120（另一个因数乘2，积也乘2）
• 12 × 15 = 180（另一个因数乘3，积也乘3）

规律二：一个因数乘几，另一个因数除以相同的数（0除外），积不变。

例如：12 × 5 = 60

• 24 × 2.5 = 60（一个因数乘2，另一个除以2，积不变）

2.3 典型例题

例1：计算 256 × 34。

解：

      2 5 6
    ×   3 4
   ---------
    1 0 2 4   ← 256 × 4
    7 6 8     ← 256 × 30
   ---------
    8 7 0 4

步骤：

1. 256 × 4 = 1024
2. 256 × 30 = 7680
3. 1024 + 7680 = 8704

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例2：计算 360 × 25。

解：可以用简便方法，也可以直接竖式计算。

竖式计算：

      3 6 0
    ×   2 5
   ---------
    1 8 0 0   ← 360 × 5
    7 2 0     ← 360 × 20
   ---------
    9 0 0 0

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例3：两个因数的积是120，如果一个因数不变，另一个因数乘3，积是多少？

解：根据积的变化规律，一个因数不变，另一个因数乘3，积也乘3。

120 × 3 = 360

答：积是360。

2.4 练习题

1. 用竖式计算。

   • 134 × 12 = ______
   • 256 × 43 = ______
   • 305 × 26 = ______
   • 450 × 30 = ______

2. 口算。

   • 200 × 30 = ______
   • 150 × 20 = ______
   • 400 × 50 = ______

3. 根据积的变化规律填空。

   • 25 × 4 = 100，所以25 × 8 = ______
   • 48 × 5 = 240，所以48 × 10 = ______
   • 如果A × B = 500，那么（A × 2）× B = ______

4. 应用题。 （1）一辆汽车每小时行驶85千米，14小时行驶多少千米？ （2）学校购买了125套课桌椅，每套136元，一共花了多少元？ （3）一个果园有苹果树240棵，梨树的棵数是苹果树的15倍，梨树有多少棵？

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第三章 公顷和平方千米

3.1 核心概念

面积单位：平方厘米（cm²）、平方分米（dm²）、平方米（m²）、公顷（hm²）、平方千米（km²）

单位换算：

• 1平方分米 = 100平方厘米
• 1平方米 = 100平方分米 = 10000平方厘米
• 1公顷 = 10000平方米
• 1平方千米 = 100公顷 = 1000000平方米

3.2 详细讲解

（一）公顷

公顷是计量较大土地面积的单位。

1公顷 = 10000平方米

感知1公顷：边长100米的正方形，面积是1公顷。大约是200个教室的面积，或者一个标准足球场的面积。

（二）平方千米

平方千米是计量更大土地面积的单位。

1平方千米 = 100公顷 = 1000000平方米

感知1平方千米：边长1千米的正方形，面积是1平方千米。

（三）面积单位换算方法

• 大单位换小单位：乘以进率
• 小单位换大单位：除以进率

例如：

• 3公顷 = 3 × 10000 = 30000平方米
• 50000平方米 = 50000 ÷ 10000 = 5公顷
• 2平方千米 = 2 × 100 = 200公顷

（四）选择合适的面积单位

• 测量教室、操场的面积用"平方米"
• 测量村庄、公园、校园的面积用"公顷"
• 测量城市、省份、国家的面积用"平方千米"

3.3 典型例题

例1：填空。

5公顷 = ______平方米

3000000平方米 = ______平方千米

解：

5公顷 = 5 × 10000 = 50000平方米

3000000平方米 = 3000000 ÷ 1000000 = 3平方千米

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例2：一块长方形菜地，长200米，宽150米，这块菜地的面积是多少公顷？

解：

面积 = 200 × 150 = 30000（平方米）

30000平方米 = 3公顷

答：这块菜地的面积是3公顷。

3.4 练习题

1. 填空。

   • 7公顷 = ______平方米
   • 4平方千米 = ______公顷
   • 60000平方米 = ______公顷
   • 800公顷 = ______平方千米
   • 3平方千米 = ______平方米

2. 在（ ）里填上合适的单位。

   • 北京天安门广场的面积约44（ ）
   • 一个教室的面积约50（ ）
   • 香港特别行政区的面积约1100（ ）
   • 一个足球场的面积约7000（ ）

3. 比较大小。

   • 5公顷 ○ 5000平方米
   • 2平方千米 ○ 200公顷
   • 3000000平方米 ○ 3平方千米

4. 一个正方形果园，边长400米，果园的面积是多少公顷？

5. 一条高速公路长200千米，宽50米，这条高速公路占地多少公顷？

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第四章 角的度量

4.1 核心概念

角的定义：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边。

角的度量单位：度（°）

角的分类：

• 锐角：大于0°小于90°的角
• 直角：等于90°的角
• 钝角：大于90°小于180°的角
• 平角：等于180°的角
• 周角：等于360°的角

量角器的使用：中心对顶点，零线对一边，看他另一边，度数在眼前。

4.2 详细讲解

（一）认识量角器

量角器是度量角的工具。量角器上有：

• 中心点（量角器的圆心）
• 零刻度线（两条，分别在左边和右边）
• 内圈刻度和外圈刻度（从0°到180°）

（二）量角的方法

1. 把量角器的中心点与角的顶点重合
2. 把量角器的零刻度线与角的一条边重合
3. 角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数

注意：读刻度时要看角的边对准的是内圈还是外圈的刻度。

（三）画角的方法

1. 先画一条射线（角的一条边）
2. 把量角器的中心点与射线的端点重合，零刻度线与射线重合
3. 在量角器上找到要画的度数对应的刻度，点一个点
4. 以射线的端点为端点，经过这个点画另一条射线
5. 标注角的度数

（四）各种角之间的关系

• 1直角 = 90°
• 1平角 = 2个直角 = 180°
• 1周角 = 2个平角 = 4个直角 = 360°

大小关系：锐角 < 直角 < 钝角 < 平角 < 周角

（五）用三角尺画角

三角尺上有30°、45°、60°、90°的角。利用这些角可以画出一些特殊度数的角：

• 30° + 45° = 75°
• 60° + 45° = 105°
• 90° + 45° = 135°

4.3 典型例题

例1：用量角器量出下面角的度数，并判断是什么角。

（一个角的度数为65°）

解：65°，因为65° < 90°，所以这是一个锐角。

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例2：画一个120°的角。

解：

1. 画一条射线
2. 把量角器的中心与射线端点重合，零刻度线与射线重合
3. 在量角器120°的刻度处点一个点
4. 从射线的端点过这个点画另一条射线
5. 标注120°

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例3：一个平角减去一个钝角，得到的是什么角？

解：平角 = 180°，钝角在90°~180°之间。

180° - 钝角 = 0°~90°之间的角，所以得到的是锐角。

4.4 练习题

1. 填空。

   • 角的大小与两条边的______无关，与两条边张开的______有关。
   • 1个平角 = ______个直角 = ______°
   • 1个周角 = ______个平角 = ______°
   • 钝角大于______°，小于______°

2. 判断下面各角是什么角。

   • 35°是______角
   • 90°是______角
   • 120°是______角
   • 180°是______角
   • 270°是______角

3. 用量角器量出下面各角的度数。 （画出3个不同大小的角让学生测量）

4. 画出下面各角。

   • 45°
   • 80°
   • 150°

5. 计算。

   • 一个直角加一个锐角（40°），得到多少度的角？是什么角？
   • 一个周角减去一个钝角（120°），得到多少度的角？是什么角？

6. 钟面上3时整，时针和分针组成的是什么角？是多少度？

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第五章 平行四边形和梯形

5.1 核心概念

平行：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。

垂直：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。

平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

梯形：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。

长方形和正方形是特殊的平行四边形。

5.2 详细讲解

（一）平行与垂直

平行：

• 同一平面内，两条直线不相交就是平行
• 平行线之间的距离处处相等
• 生活中的平行：铁轨、斑马线、窗户的对边

垂直：

• 两条直线相交成90°就是互相垂直
• 交点叫垂足
• 生活中的垂直：墙角、十字路口

画平行线的方法：用三角尺和直尺配合。把三角尺的一条边紧贴直尺，沿直尺移动三角尺，画出的两条直线互相平行。

画垂线的方法：用三角尺。把三角尺的一条直角边与已知直线重合，沿另一条直角边画线，就得到垂线。

（二）平行四边形

特征：

• 两组对边分别平行
• 两组对边分别相等
• 对角相等
• 容易变形（不稳定）

平行四边形不是轴对称图形（一般情况下）。

（三）梯形

特征：

• 只有一组对边平行
• 平行的一组对边分别叫上底和下底
• 不平行的一组对边叫腰

特殊梯形：

• 等腰梯形：两腰相等的梯形，是轴对称图形
• 直角梯形：有一个角是直角的梯形

（四）四边形之间的关系

四边形
├── 平行四边形（两组对边平行）
│   ├── 长方形（四个直角）
│   │   └── 正方形（四边相等）
│   └── 一般平行四边形
└── 梯形（一组对边平行）
    ├── 等腰梯形
    └── 直角梯形

5.3 典型例题

例1：判断下面的说法是否正确。

（1）不相交的两条直线叫做平行线。（ ）

（2）平行四边形是轴对称图形。（ ）

解：

（1）错误。必须是在"同一平面内"不相交的两条直线才叫平行线。

（2）错误。一般的平行四边形不是轴对称图形。

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例2：一个平行四边形的周长是36厘米，其中一条边长10厘米，另一条边长多少厘米？

解：平行四边形的对边相等。

周长 =（一条边 + 另一条边）× 2

36 =（10 + 另一条边）× 2

10 + 另一条边 = 18

另一条边 = 8（厘米）

答：另一条边长8厘米。

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例3：画一个平行四边形和一个梯形，并标出它们的底和高。

解：（学生自行画图练习）

平行四边形：先画一组平行线，再画另一组平行线与之相交。

梯形：先画两条平行线（上底和下底），再画两条不平行的线连接两端。

5.4 练习题

1. 填空。

   • 两组对边分别平行的四边形叫做______。
   • 只有一组对边平行的四边形叫做______。
   • 长方形和正方形是特殊的______。
   • 从直线外一点到这条直线所画的______最短。

2. 判断对错。

   • 平行四边形的对边相等。（ ）
   • 梯形的两腰一定不相等。（ ）
   • 正方形是特殊的长方形。（ ）
   • 两条平行线之间的距离处处相等。（ ）

3. 画一画。

   • 过直线外一点画已知直线的平行线。
   • 过直线上一点画已知直线的垂线。
   • 画一个平行四边形。
   • 画一个等腰梯形。

4. 一个梯形的上底是5厘米，下底是9厘米，腰分别是4厘米和4厘米，这个梯形的周长是多少厘米？它是什么梯形？

5. 在下面的图形中，找出平行四边形和梯形。（给出若干四边形让学生分类）

6. 一个平行四边形的周长是48厘米，一条边比另一条边长4厘米，两条边各是多少厘米？

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综合练习题

1. 读出或写出下面各数。

   • 3060050000 读作：______
   • 五千万零八百 写作：______

2. 填空。

   • 3500000000 = ______亿
   • 780000 = ______万
   • 4平方千米 = ______公顷 = ______平方米
   • 90000平方米 = ______公顷

3. 用竖式计算。

   • 345 × 26 = ______
   • 208 × 35 = ______
   • 460 × 50 = ______

4. 量出下面各角的度数，并判断是什么角。 （给出3个角让学生测量）

5. 画出下面各角。

   • 70°
   • 135°

6. 判断对错。

   • 个、十、百、千、万……都是计数单位。（ ）
   • 大于90°的角就是钝角。（ ）
   • 平行四边形具有稳定性。（ ）
   • 1平方千米 = 1000000平方米。（ ）

7. 选择题。 （1）下面各数中，一个0都不读的是（ ）。

   1. 3050000 B. 3500000 C. 3005000

   （2）过直线外一点画已知直线的垂线，可以画（ ）条。

   1. 1 B. 2 C. 无数

8. 应用题。 （1）一个长方形果园，长500米，宽300米，果园的面积是多少公顷？ （2）学校购买了150套校服，每套86元，一共花了多少元？ （3）一辆客车从甲地到乙地，每小时行75千米，12小时到达。甲乙两地相距多少千米？ （4）一个平行四边形的周长是56厘米，一条边长18厘米，另一条边长多少厘米？ （5）某市有15个区，每个区的面积大约是80平方千米，这个市的总面积大约是多少平方千米？

9. 思考题。 用0、1、2、3、4这五个数字组成一个三位数和一个两位数，要使乘积最大，应该是哪两个数？

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学习方法建议

1. 大数的认识——分级读写

• 分级是关键：读写大数时，先从右往左每四位分一级，逐级读写
• 多读多写：练习读写生活中的大数，如人口数量、国土面积等
• 数位表记忆：制作数位顺序表贴在书桌前，经常查看

2. 三位数乘两位数——细心计算

• 竖式规范：数位对齐，步骤清晰，进位标记
• 养成验算习惯：用估算或交换因数的方法验算
• 掌握积的变化规律：这是重要的数学规律，要理解并能灵活运用

3. 公顷和平方千米——建立量感

• 理解进率：面积单位之间的进率是100（相邻的），而不是10
• 联系实际：了解学校、公园等场地的面积，建立公顷和平方千米的概念
• 注意区分：长度单位进率是10，面积单位进率是100，不要混淆

4. 角的度量——动手操作

• 正确使用量角器：中心对顶点，零线对一边，注意内外圈
• 多画多量：画角和量角是基本功，需要反复练习
• 理解角的分类：记住各种角的度数范围

5. 平行四边形和梯形——理解概念

• 动手画图：用直尺和三角尺画平行线、垂线、平行四边形和梯形
• 理解"平行"和"垂直"：这是几何中的重要概念
• 掌握图形关系：理解四边形之间的包含关系

6. 通用学习建议

• 每日计算练习：坚持每天做5-10道计算题，保持计算能力
• 错题本：记录错误原因，定期复习
• 预习新课：提前了解新知识，带着问题听课
• 思考题挑战：适当做一些思考题，培养数学思维

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总结

四年级上册的数学学习内容涵盖了数与代数、图形与几何的重要知识。通过本学期的学习，同学们将：

1. 认识大数：能够正确读写亿以内的数，掌握改写和求近似数的方法
2. 掌握三位数乘两位数：能够正确进行笔算，理解积的变化规律
3. 认识更大的面积单位：掌握公顷和平方千米的换算
4. 学会角的度量：能够用量角器量角和画角，理解各种角的关系
5. 认识平行四边形和梯形：理解平行与垂直的概念，掌握图形特征

数学学习是一个积累的过程。希望同学们在学习中注重理解，勤于练习，善于总结。每天进步一点点，你一定能成为数学高手！

加油！你的努力终将开花结果！ 🌟