二年级数学下册教程——万以内数的认识与除法

前言

本教程专为二年级下学期的学生和家长编写，旨在系统梳理本学期数学课程的核心知识点。二年级下册是小学数学学习的重要阶段，学生将从百以内的数扩展到万以内的数，从加减法拓展到除法和混合运算，同时还会接触图形的运动等几何知识。

本教程涵盖以下主要内容：

• 万以内数的认识：学会读、写、比较万以内的数
• 表内除法：理解除法的含义，掌握用乘法口诀求商
• 图形的运动：认识平移和旋转现象
• 混合运算：掌握含有加减乘除的两步运算
• 有余数的除法：理解余数的概念，学会有余数的除法计算

每个章节都包含核心概念讲解、典型例题和配套练习题，帮助同学们扎实掌握每个知识点。让我们一起开始数学探索之旅吧！

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第一章 万以内数的认识

1.1 核心概念

计数单位：我们学过的计数单位有个、十、百、千、万。每相邻两个计数单位之间的进率都是10，即：

• 10个一是十
• 10个十是一百
• 10个百是一千
• 10个千是一万

数位顺序表：

万位	千位	百位	十位	个位

每个数字所在的数位不同，表示的含义也不同。例如数字"3"在百位上表示3个百（即300），在千位上表示3个千（即3000）。

1.2 详细讲解

（一）万以内数的读法

读数时从高位读起，按照数位顺序依次读出。

• 每级末尾的0不读。例如：3500 读作"三千五百"，末尾的两个0不读。
• 中间有一个或连续几个0，只读一个"零"。例如：3005 读作"三千零五"；3050 读作"三千零五十"。
• 其他数位上的0都要读出来（作为"零"）。

读数口诀：从高位起，一位一位往下读；千位上是几就读几千，百位上是几就读几百，十位上是几就读几十，个位上是几就读几；中间有一个0或连续几个0，只读一个"零"；末尾不管有几个0，都不读。

（二）万以内数的写法

写数时也从高位写起。

• 哪个数位上是几，就在那个数位上写几。
• 哪个数位上一个计数单位也没有，就在那个数位上写0占位。

例如：六千零八十 写作 6080（千位写6，百位写0，十位写8，个位写0）

（三）万以内数的大小比较

比较两个数的大小时：

1. 位数不同：位数多的数大。例如：1000 > 999（四位数大于三位数）
2. 位数相同：从最高位开始比较，最高位上的数大的那个数就大；如果最高位相同，就比较下一位，依次类推。例如：3456 > 3425（千位和百位相同，十位5 > 2，所以3456大）

（四）近似数

生活中有些数是准确数，有些数是大概的、接近准确的数，这样的数叫做近似数。

求一个数的近似数，通常用"四舍五入"的方法。二年级阶段主要学习用"整百"或"整千"来表示近似数。

例如：学校有学生1246人，大约有1200人（近似到百位）；也可以说大约有1000人（近似到千位）。

1.3 典型例题

例1：写出下面各数。

（1）5个千、3个百、6个十和2个一组成的数是（ ）。

（2）8个千和4个一组成的数是（ ）。

解：

（1）5个千=5000，3个百=300，6个十=60，2个一=2，合起来是5362。

（2）8个千=8000，4个一=4，中间百位和十位都是0，所以是8004。

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例2：比较大小。

3680 ○ 3860

解：两个数都是四位数，千位都是3，相同；比较百位，6 < 8，所以3680 < 3860。

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例3：一个数，千位上是最大的一位数，百位上是5，十位和个位上都是0，这个数是（ ），读作（ ）。

解：最大的一位数是9，所以千位是9，百位是5，十位和个位是0，这个数是9500，读作"九千五百"。

1.4 练习题

1. 写出下面各数。

   • 3个千、7个百和5个一组成的数：______
   • 6个千和8个十组成的数：______

2. 读出下面各数。

   • 4560 读作：______
   • 7003 读作：______
   • 2080 读作：______

3. 比较大小（填">"、"<"或"="）。

   • 5680 ○ 5860
   • 4000 ○ 3999
   • 2305 ○ 2350

4. 按从小到大的顺序排列下面各数。 4532、4325、4523、4235

5. 一个四位数，最高位上是6，最低位上是3，其余各位都是0，这个数是______，读作______。

6. 4689中的"6"在______位上，表示______个______。

7. 与5000相邻的两个数是______和______。

8. 学校图书馆有图书4856册，大约是______册（近似到百位）。

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第二章 表内除法

2.1 核心概念

除法的含义：把一个数平均分成几份，求每份是多少，用除法计算。

除法算式：被除数 ÷ 除数 = 商

例如：12 ÷ 3 = 4，表示把12平均分成3份，每份是4。

除法与乘法的关系：除法是乘法的逆运算。

• 因为 3 × 4 = 12，所以 12 ÷ 3 = 4，12 ÷ 4 = 3。

用乘法口诀求商：计算除法时，想除数和几相乘等于被除数，就用那句口诀。

例如：计算 35 ÷ 7，想"五七三十五"，所以商是5。

2.2 详细讲解

（一）平均分

"平均分"是除法的基础。把一些物品分成几份，每份分得同样多，叫做平均分。

例如：把8个苹果平均分给2个小朋友，每个小朋友分得4个。

（二）除法算式的各部分名称

在 12 ÷ 3 = 4 中：

• 12 是被除数（要分的那个数）
• 3 是除数（平均分成几份）
• 4 是商（每份是多少）

（三）用乘法口诀求商的方法

步骤：

1. 看清除数是几
2. 想：除数和几相乘等于被除数
3. 用对应的乘法口诀得出商

关键：熟练掌握乘法口诀表是正确求商的基础！

（四）有关0的除法

• 0除以任何不是0的数都等于0。例如：0 ÷ 5 = 0
• 0不能作除数。

2.3 典型例题

例1：计算下面各题。

（1）24 ÷ 6 = ______

（2）45 ÷ 9 = ______

（3）56 ÷ 7 = ______

解：

（1）想：四六二十四，所以24 ÷ 6 = 4

（2）想：五九四十五，所以45 ÷ 9 = 5

（3）想：七八五十六，所以56 ÷ 7 = 8

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例2：有36个桃子，平均装在6个盘子里，每盘装几个？

解：36 ÷ 6 = 6（个）

答：每盘装6个。

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例3：学校买来48本图书，平均分给8个班，每班分几本？

解：48 ÷ 8 = 6（本）

答：每班分6本。

2.4 练习题

1. 直接写出得数。

   • 18 ÷ 3 = ______
   • 28 ÷ 4 = ______
   • 42 ÷ 7 = ______
   • 63 ÷ 9 = ______
   • 32 ÷ 8 = ______

2. 填空。

   • 5 × （ ）= 40，所以40 ÷ 5 = ______
   • （ ）× 7 = 49，所以49 ÷ 7 = ______

3. 把24颗糖平均分给4个小朋友，每人分几颗？

4. 有54个乒乓球，每6个装一盒，可以装几盒？

5. 看图列式：小明有35张贴纸，平均分给7个好朋友，每人分几张？

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第三章 图形的运动（一）

3.1 核心概念

平移：物体沿着直线方向移动，本身的大小和方向都不改变，这种运动现象叫做平移。

旋转：物体绕着一个固定的点或轴转动，这种运动现象叫做旋转。

轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

3.2 详细讲解

（一）平移的特点

• 物体沿直线运动
• 物体的大小不变
• 物体的方向不变
• 生活中的平移：电梯升降、拉抽屉、推窗户

（二）旋转的特点

• 物体绕一个固定点转动
• 物体的大小不变
• 物体的方向在改变
• 生活中的旋转：风车转动、钟表指针转动、开门关门（绕门轴转动）

（三）轴对称图形

• 对称轴两侧的图形完全重合
• 常见的轴对称图形：长方形（2条对称轴）、正方形（4条对称轴）、圆形（无数条对称轴）、等腰三角形（1条对称轴）

（四）在方格纸上画平移后的图形

方法：先找出图形的关键点，把每个关键点都按要求平移相同的格数，然后把这些点连接起来。

3.3 典型例题

例1：下面哪些现象是平移？哪些是旋转？

（1）升国旗时国旗的运动——（ ）

（2）拧瓶盖——（ ）

（3）火车在直轨上行驶——（ ）

（4）风扇叶片的运动——（ ）

解：

（1）平移 （2）旋转 （3）平移 （4）旋转

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例2：下面哪些图形是轴对称图形？

长方形、平行四边形、圆、三角形（一般三角形）

解：长方形是轴对称图形，圆是轴对称图形。一般的平行四边形不是轴对称图形，一般的三角形也不是轴对称图形（只有等腰三角形、等边三角形才是）。

3.4 练习题

1. 判断下面的现象是平移还是旋转。

   • 汽车方向盘的转动：______
   • 电梯的上下运动：______
   • 水龙头开关的转动：______
   • 滑滑梯：______

2. 正方形有______条对称轴，长方形有______条对称轴，圆有______条对称轴。

3. 在方格纸上，把一个三角形向右平移3格后的图形是什么样的？请画一画。

4. 下面的数字和字母中，哪些是轴对称图形？ A、B、C、D、E、8、0、3

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第四章 混合运算

4.1 核心概念

运算顺序：

1. 在没有括号的算式里，如果只有加、减法，或者只有乘、除法，要从左往右按顺序计算。
2. 在没有括号的算式里，如果有乘、除法，又有加、减法，要先算乘、除法，后算加、减法。
3. 算式里有括号的，要先算括号里面的。

4.2 详细讲解

（一）同级运算（只有加减或只有乘除）

从左往右依次计算。

例如：

• 35 + 12 - 8 = 47 - 8 = 39
• 24 ÷ 6 × 3 = 4 × 3 = 12

（二）不同级运算（既有乘除又有加减）

先算乘除，后算加减。

例如：

• 5 + 3 × 4 = 5 + 12 = 17（先算3×4=12，再算5+12=17）
• 36 - 18 ÷ 3 = 36 - 6 = 30（先算18÷3=6，再算36-6=30）

特别注意：不要看到前面的加号或减号就先算！一定要先看有没有乘除法。

（三）有括号的混合运算

先算括号里面的，再算括号外面的。

例如：

• （5 + 3）× 4 = 8 × 4 = 32（先算括号里的5+3=8，再算8×4=32）
• 36 ÷（18 - 9）= 36 ÷ 9 = 4（先算括号里的18-9=9，再算36÷9=4）

（四）列综合算式解决两步计算问题

用一个算式来解决问题时，要根据题意确定先算什么、后算什么，合理使用括号。

4.3 典型例题

例1：计算下面各题。

（1）7 × 8 + 15 = ______

（2）54 - 48 ÷ 6 = ______

（3）（23 + 17）÷ 8 = ______

解：

（1）先算乘法：7 × 8 = 56，再算加法：56 + 15 = 71

（2）先算除法：48 ÷ 6 = 8，再算减法：54 - 8 = 46

（3）先算括号里：23 + 17 = 40，再算除法：40 ÷ 8 = 5

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例2：商店里每支铅笔2元，小明买了5支铅笔，付了20元，应找回多少元？

解：

方法一（分步）：先算5支铅笔的价钱：2 × 5 = 10（元），再算找回的钱：20 - 10 = 10（元）

方法二（综合算式）：20 - 2 × 5 = 20 - 10 = 10（元）

答：应找回10元。

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例3：二年级有男生25人，女生23人，每8人一组参加植树活动，可以分成几组？

解：

先算总人数：25 + 23 = 48（人）

再算分几组：48 ÷ 8 = 6（组）

综合算式：（25 + 23）÷ 8 = 48 ÷ 8 = 6（组）

答：可以分成6组。

4.4 练习题

1. 计算下面各题。

   • 4 × 9 + 25 = ______
   • 72 - 36 ÷ 4 = ______
   • （18 + 14）÷ 8 = ______
   • 56 ÷（32 - 24）= ______
   • 63 - 7 × 5 = ______

2. 在○里填上">"、"<"或"="。

   • 3 + 5 × 4 ○（3 + 5）× 4
   • 48 ÷ 6 + 2 ○ 48 ÷（6 + 2）

3. 妈妈买了4千克苹果，每千克6元，又买了3千克香蕉，每千克5元。妈妈一共花了多少元？

4. 一本故事书有72页，小红每天看8页，看了5天后，还剩多少页没看？

5. 果园里有桃树45棵，苹果树比桃树多15棵，把这些果树平均种成6行，每行种多少棵？

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第五章 有余数的除法

5.1 核心概念

有余数的除法：在平均分的过程中，有时会剩下一些不够再分，剩下的数叫做余数。

算式表示：被除数 ÷ 除数 = 商……余数

重要关系：被除数 = 商 × 除数 + 余数

余数与除数的关系：余数一定比除数小。

5.2 详细讲解

（一）理解有余数的除法

例如：把7个苹果平均分给3个小朋友。

每人分2个，分掉了6个，还剩下1个。

算式：7 ÷ 3 = 2……1

其中，7是被除数，3是除数，2是商，1是余数。

（二）余数一定要比除数小

这是有余数除法中最重要的规则。

为什么呢？因为如果余数大于或等于除数，说明还能继续分，就不应该有那么多的余数了。

例如：7 ÷ 3，余数不能是3或更大，因为如果剩3个，还可以每人再分1个。所以余数最大只能是2。

（三）用竖式计算有余数的除法

以 23 ÷ 4 为例：

      5
   ┌─────
4 │ 2 3
    2 0
   ─────
      3

步骤：

1. 想4和几相乘最接近23但不超过23，4×5=20，所以商5
2. 23 - 20 = 3，余数是3
3. 检查：余数3 < 除数4，正确

验算：4 × 5 + 3 = 23 ✓

（四）解决实际问题中的"进一法"和"去尾法"

• 进一法：有剩余时，需要多加一组。例如：17个人坐船，每条船坐4人，需要几条船？17÷4=4……1，剩下1人也需要一条船，所以需要4+1=5条船。
• 去尾法：有剩余时，剩余的不能算。例如：17元钱，每支笔4元，能买几支笔？17÷4=4……1，剩下1元不够买一支，所以能买4支。

5.3 典型例题

例1：用竖式计算 25 ÷ 6。

解：

      4
   ┌─────
6 │ 2 5
    2 4
   ─────
      1

25 ÷ 6 = 4……1

验算：6 × 4 + 1 = 25 ✓

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例2：有26个苹果，每袋装5个，需要几个袋子？

解：26 ÷ 5 = 5……1

剩下1个苹果也需要一个袋子，所以需要 5 + 1 = 6（个）

答：需要6个袋子。

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例3：一根绳子长19米，每3米剪一段，最多能剪几段？还剩多少米？

解：19 ÷ 3 = 6……1

答：最多能剪6段，还剩1米。

5.4 练习题

1. 用竖式计算下面各题。

   • 38 ÷ 7 = ______
   • 53 ÷ 8 = ______
   • 29 ÷ 4 = ______

2. 填空。

   • 在有余数的除法中，余数一定比除数（ ）。
   • □÷6=3……☆，☆最大是（ ），最小是（ ）。
   • □÷☆=5……3，除数最小是（ ），这时被除数是（ ）。

3. 判断对错。

   • 23 ÷ 4 = 5……3 （ ）
   • 30 ÷ 7 = 4……2 （ ）
   • 在有余数的除法中，余数可以等于除数。（ ）

4. 46个同学去划船，每条船坐6人，至少需要几条船？

5. 用一根30米长的绳子做跳绳，每根跳绳需要4米，最多能做几根跳绳？

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综合练习题

1. 写出下面各数并读出来。

   • 由4个千、2个百和8个一组成的数：，读作
   • 由6个千和6个十组成的数：，读作

2. 比较大小。

   • 4567 ○ 4657
   • 8000 ○ 7999
   • 3210 ○ 3201

3. 直接写得数。

   • 72 ÷ 8 = ______
   • 6 × 7 = ______
   • 0 ÷ 9 = ______
   • 81 ÷ 9 = ______

4. 用竖式计算。

   • 47 ÷ 6 = ______
   • 65 ÷ 9 = ______

5. 计算下面各题。

   • 8 × 7 - 26 = ______
   • （45 - 18）÷ 9 = ______
   • 36 + 24 ÷ 6 = ______

6. 填空。

   • 5689中，"5"在______位上，表示______。
   • 最大的三位数是______，最小的四位数是______，它们相差______。

7. 应用题。 （1）小明有50元钱，买了一本故事书花了18元，剩下的钱买每支4元的钢笔，能买几支？

   （2）果园里有苹果树38棵，梨树比苹果树多14棵，把这些树平均种成6行，每行种多少棵？

   （3）二年级有男生28人，女生24人，每7人一组打扫卫生，可以分成几组？

   （4）一件上衣需要5颗扣子，现有42颗扣子，最多能钉几件上衣？还剩几颗？

8. 找规律填数。

   • 1000、2000、3000、、
   • 8500、8000、7500、、

9. 在方格纸上画出下面的图形。

   • 画一个长方形，再把它向右平移4格。
   • 画一个有2条对称轴的图形。

10. 解决问题。 （1）妈妈带了100元去超市，买了3袋大米（每袋28元），还剩多少元？

    （2）学校图书馆买来8包图书，每包9本，平均分给6个班，每班分多少本？

    （3）一根彩带长50米，第一次用去了15米，第二次用去了18米，剩下的每7米做一个蝴蝶结，能做几个？

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学习方法建议

1. 数的认识——多读多写多比较

• 每日练习：每天读写5个万以内的数，可以翻看家里的书本页码、门牌号、电话号码等
• 数位卡片游戏：用卡片摆出不同的数，互相读一读、比一比
• 生活中的大数：关注超市价格、学校人数、楼层等生活中的大数

2. 除法——理解"平均分"的本质

• 动手分一分：用实物（糖果、积木等）练习平均分，建立直观感受
• 背熟乘法口诀：除法计算依赖乘法口诀，必须滚瓜烂熟
• 找关系：每做一道除法，都写出对应的两个乘法算式，强化乘除法的联系

3. 混合运算——牢记运算顺序

• 口诀记忆："先乘除，后加减；有括号，先括号"
• 先分析再计算：做题前先观察算式结构，确定先算什么
• 验算习惯：做完后代入原算式验证

4. 有余数的除法——理解与检验

• 理解余数含义：知道"余下"是什么意思
• 检验三步法：一看商是否合理，二看余数是否比除数小，三验算被除数=商×除数+余数
• 区分"进一"和"去尾"：根据实际情况判断剩余部分是否需要多算一组

5. 图形运动——观察与操作

• 在生活中找平移和旋转：坐电梯（平移）、开门（旋转）、风车（旋转）
• 动手折一折：用纸折出对称图形，加深对轴对称的理解
• 画一画：在方格纸上练习画平移后的图形

6. 通用学习习惯

• 课前预习：提前看看新课内容，标出不懂的地方
• 课堂专注：认真听讲，积极举手回答问题
• 课后复习：当天学的知识当天复习，不拖到明天
• 错题本：把做错的题抄下来，定期重做
• 独立思考：遇到难题先自己想，实在不会再问

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总结

二年级下册的数学学习，是同学们数学能力的一次重要提升。通过本学期的学习，同学们将：

1. 认识万以内的数：建立更大的数感，能够正确读写和比较万以内的数
2. 掌握表内除法：理解除法的意义，熟练运用乘法口诀求商
3. 了解图形的运动：认识平移、旋转和轴对称，发展空间观念
4. 学会混合运算：掌握"先乘除后加减、有括号先算括号"的运算顺序
5. 理解有余数的除法：知道余数的含义，能够进行有余数的除法计算

数学学习是一个循序渐进的过程。希望同学们在学习中多动手、多思考、多练习，把每个知识点都学扎实。遇到困难不要怕，一步一步来，你一定能学好数学！

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